Integral de 2/3*sinx^3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{2 \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx}{3}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-1\right)\, du = - u$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$