Integral de 6cos10x-3(9x-5)^2+(1/4x+3) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{4}\, dx = \frac{\int x\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{8}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{8} + 3 x$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \left(9 x - 5\right)^{2}\right)\, dx = - 3 \int \left(9 x - 5\right)^{2}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 9 x - 5$.

               Luego que $du = 9 dx$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

               $\int \frac{u^{2}}{9}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{9}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{27}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\left(9 x - 5\right)^{3}}{27}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(9 x - 5\right)^{2} = 81 x^{2} - 90 x + 25$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 81 x^{2}\, dx = 81 \int x^{2}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $27 x^{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 90 x\right)\, dx = - 90 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 45 x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 25\, dx = 25 x$

               El resultado es: $27 x^{3} - 45 x^{2} + 25 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(9 x - 5\right)^{3}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 \cos{\left(10 x \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(10 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 10 x$.

            Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(10 x \right)}}{5}$

      El resultado es: $- \frac{\left(9 x - 5\right)^{3}}{9} + \frac{3 \sin{\left(10 x \right)}}{5}$

   El resultado es: $\frac{x^{2}}{8} + 3 x - \frac{\left(9 x - 5\right)^{3}}{9} + \frac{3 \sin{\left(10 x \right)}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $- 81 x^{3} + \frac{1081 x^{2}}{8} - 72 x + \frac{3 \sin{\left(10 x \right)}}{5} + \frac{125}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 81 x^{3} + \frac{1081 x^{2}}{8} - 72 x + \frac{3 \sin{\left(10 x \right)}}{5} + \frac{125}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 81 x^{3} + \frac{1081 x^{2}}{8} - 72 x + \frac{3 \sin{\left(10 x \right)}}{5} + \frac{125}{9}+ \mathrm{constant}$