Integral de x^(-2/3)cos(x^(1/3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}}{2 u^{\frac{3}{2}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{3 \int \frac{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}}{u^{\frac{3}{2}}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u}}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sin{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin{\left(\frac{1}{\sqrt{u}} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

      $\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$