Integral de 8cos4x-2sqrt(x)+e^(5x+2) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 x + 2$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{5 x + 2}}{5}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{5 x + 2} = e^{2} e^{5 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{2} e^{5 x}\, dx = e^{2} \int e^{5 x}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{5 x}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2} e^{5 x}}{5}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{5 x + 2} = e^{2} e^{5 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{2} e^{5 x}\, dx = e^{2} \int e^{5 x}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{5 x}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2} e^{5 x}}{5}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sqrt{x}\right)\, dx = - 2 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 8 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(4 x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sin{\left(4 x \right)}$

   El resultado es: $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{e^{5 x + 2}}{5} + 2 \sin{\left(4 x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{e^{5 x + 2}}{5} + 2 \sin{\left(4 x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{e^{5 x + 2}}{5} + 2 \sin{\left(4 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{e^{5 x + 2}}{5} + 2 \sin{\left(4 x \right)}+ \mathrm{constant}$