Integral de 2*x/(x*(-3)+10) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x}{10 + \left(-3\right) x} = - \frac{2}{3} - \frac{20}{3 \left(3 x - 10\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{2}{3}\right)\, dx = - \frac{2 x}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{20}{3 \left(3 x - 10\right)}\right)\, dx = - \frac{20 \int \frac{1}{3 x - 10}\, dx}{3}$

         1. que $u = 3 x - 10$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 x - 10 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20 \log{\left(3 x - 10 \right)}}{9}$

      El resultado es: $- \frac{2 x}{3} - \frac{20 \log{\left(3 x - 10 \right)}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x}{10 + \left(-3\right) x} = - \frac{2 x}{3 x - 10}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2 x}{3 x - 10}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{3 x - 10}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{3 x - 10} = \frac{1}{3} + \frac{10}{3 \left(3 x - 10\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{10}{3 \left(3 x - 10\right)}\, dx = \frac{10 \int \frac{1}{3 x - 10}\, dx}{3}$

            1. que $u = 3 x - 10$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{1}{3 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(3 x - 10 \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 \log{\left(3 x - 10 \right)}}{9}$

         El resultado es: $\frac{x}{3} + \frac{10 \log{\left(3 x - 10 \right)}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x}{3} - \frac{20 \log{\left(3 x - 10 \right)}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x}{3} - \frac{20 \log{\left(3 x - 10 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x}{3} - \frac{20 \log{\left(3 x - 10 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$