Integral de xcos(3x)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{3}{u} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(\frac{3}{u} \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\cos{\left(\frac{3}{u} \right)}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = \frac{3}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{3 du}{u^{2}}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{3}{u} \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(\frac{3}{u} \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$