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Resolución de integrales/ cos(3x)/ xcos(3x)/x

Integral de xcos(3x)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |  x*cos(3*x)   
 |  ---------- dx
 |      x        
 |               
/                
0
∫01xcos⁡(3x)x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{x}\, dx 
Integral((x*cos(3*x))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #2

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−cos⁡(3u)u2) du\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{3}{u} \right)}}{u^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(3u)u2 du=−∫cos⁡(3u)u2 du\int \frac{\cos{\left(\frac{3}{u} \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\cos{\left(\frac{3}{u} \right)}}{u^{2}}\, du

        1. que u=3uu = \frac{3}{u}.

          Luego que du=−3duu2du = - \frac{3 du}{u^{2}} y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

          ∫(−cos⁡(u)3) du\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=−∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)3- \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡(3u)3- \frac{\sin{\left(\frac{3}{u} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(3u)3\frac{\sin{\left(\frac{3}{u} \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(3x)3+constant\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(3x)3+constant\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                            
 |                             
 | x*cos(3*x)          sin(3*x)
 | ---------- dx = C + --------
 |     x                  3    
 |                             
/
∫xcos⁡(3x)x dx=C+sin⁡(3x)3\int \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{x}\, dx = C + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
sin(3)
------
  3
sin⁡(3)3\frac{\sin{\left(3 \right)}}{3} 
=
= 
sin(3)
------
  3
sin⁡(3)3\frac{\sin{\left(3 \right)}}{3} 
sin(3)/3
Respuesta numérica [src] 
0.0470400026866224
0.0470400026866224

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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