Integral de xcos3x2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$