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Resolución de integrales/ cos(4x)/ (1-8x^2)cos(4x)

Integral de (1-8x^2)cos(4x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  /       2\            
 |  \1 - 8*x /*cos(4*x) dx
 |                        
/                         
0
∫01(1−8x2)cos⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - 8 x^{2}\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral((1 - 8*x^2)*cos(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−8x2)cos⁡(4x)=−8x2cos⁡(4x)+cos⁡(4x)\left(1 - 8 x^{2}\right) \cos{\left(4 x \right)} = - 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8x2cos⁡(4x)) dx=−8∫x2cos⁡(4x) dx\int \left(- 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 8 \int x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = \frac{x}{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=12\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)8) dx=−∫cos⁡(4x) dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)32- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x2sin⁡(4x)−xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)4- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      El resultado es: −2x2sin⁡(4x)−xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)2- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=1−8x2u{\left(x \right)} = 1 - 8 x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−16x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 16 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−4xu{\left(x \right)} = - 4 x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−4\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

      ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−8x2)cos⁡(4x)=−8x2cos⁡(4x)+cos⁡(4x)\left(1 - 8 x^{2}\right) \cos{\left(4 x \right)} = - 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8x2cos⁡(4x)) dx=−8∫x2cos⁡(4x) dx\int \left(- 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 8 \int x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = \frac{x}{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=12\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)8) dx=−∫cos⁡(4x) dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)32- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x2sin⁡(4x)−xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)4- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      El resultado es: −2x2sin⁡(4x)−xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)2- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2x2sin⁡(4x)−xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)2+constant- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2x2sin⁡(4x)−xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)2+constant- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 | /       2\                   sin(4*x)                   2         
 | \1 - 8*x /*cos(4*x) dx = C + -------- - x*cos(4*x) - 2*x *sin(4*x)
 |                                 2                                 
/
∫(1−8x2)cos⁡(4x) dx=C−2x2sin⁡(4x)−xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)2\int \left(1 - 8 x^{2}\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C - 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-510
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          3*sin(4)
-cos(4) - --------
             2
−cos⁡(4)−3sin⁡(4)2- \cos{\left(4 \right)} - \frac{3 \sin{\left(4 \right)}}{2} 
=
= 
          3*sin(4)
-cos(4) - --------
             2
−cos⁡(4)−3sin⁡(4)2- \cos{\left(4 \right)} - \frac{3 \sin{\left(4 \right)}}{2} 
-cos(4) - 3*sin(4)/2
Respuesta numérica [src] 
1.7888473638255
1.7888473638255

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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