Integral de 1/(2-x/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \frac{x}{3} + 2$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{3}$ y ponemos $- 3 du$:

      $\int \left(- \frac{3}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - 3 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 \log{\left(- \frac{x}{3} + 2 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- \frac{x}{3} + 2} = - \frac{3}{x - 6}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3}{x - 6}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x - 6}\, dx$

      1. que $u = x - 6$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x - 6 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(x - 6 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- \frac{x}{3} + 2} = - \frac{3}{x - 6}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3}{x - 6}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x - 6}\, dx$

      1. que $u = x - 6$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x - 6 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(x - 6 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 3 \log{\left(2 - \frac{x}{3} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 \log{\left(2 - \frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 \log{\left(2 - \frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}$