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Resolución de integrales/ 3*x+1/ x*dx/(sqrt(3*x+1)+1)

Integral de x*dx/(sqrt(3*x+1)+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |         x          
 |  --------------- dx
 |    _________       
 |  \/ 3*x + 1  + 1   
 |                    
/                     
0
∫01x3x+1+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x + 1} + 1}\, dx 
Integral(x/(sqrt(3*x + 1) + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=3x+1u = \sqrt{3 x + 1}.

    Luego que du=3dx23x+1du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}} y ponemos 2du2 du:

    ∫2u(u23−13)3u+3 du\int \frac{2 u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u(u23−13)3u+3 du=2∫u(u23−13)3u+3 du\int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3}\, du = 2 \int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3}\, du

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u(u23−13)3u+3=u29−u9\frac{u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3} = \frac{u^{2}}{9} - \frac{u}{9}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u29 du=∫u2 du9\int \frac{u^{2}}{9}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{9}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u327\frac{u^{3}}{27}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u9) du=−∫u du9\int \left(- \frac{u}{9}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{9}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u218- \frac{u^{2}}{18}

          El resultado es: u327−u218\frac{u^{3}}{27} - \frac{u^{2}}{18}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u(u23−13)3u+3=u33(3u+3)−u3(3u+3)\frac{u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3} = \frac{u^{3}}{3 \left(3 u + 3\right)} - \frac{u}{3 \left(3 u + 3\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u33(3u+3) du=∫u33u+3 du3\int \frac{u^{3}}{3 \left(3 u + 3\right)}\, du = \frac{\int \frac{u^{3}}{3 u + 3}\, du}{3}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u33u+3=u23−u3+13−13(u+1)\frac{u^{3}}{3 u + 3} = \frac{u^{2}}{3} - \frac{u}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u23 du=∫u2 du3\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: u39\frac{u^{3}}{9}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u3) du=−∫u du3\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{3}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u26- \frac{u^{2}}{6}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−13(u+1)) du=−∫1u+1 du3\int \left(- \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}

                1. que u=u+1u = u + 1.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)3- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}

              El resultado es: u39−u26+u3−log⁡(u+1)3\frac{u^{3}}{9} - \frac{u^{2}}{6} + \frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u327−u218+u9−log⁡(u+1)9\frac{u^{3}}{27} - \frac{u^{2}}{18} + \frac{u}{9} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{9}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u3(3u+3)) du=−∫u3u+3 du3\int \left(- \frac{u}{3 \left(3 u + 3\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{u}{3 u + 3}\, du}{3}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u3u+3=13−13(u+1)\frac{u}{3 u + 3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−13(u+1)) du=−∫1u+1 du3\int \left(- \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}

                1. que u=u+1u = u + 1.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)3- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}

              El resultado es: u3−log⁡(u+1)3\frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u9+log⁡(u+1)9- \frac{u}{9} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{9}

          El resultado es: u327−u218\frac{u^{3}}{27} - \frac{u^{2}}{18}

      Por lo tanto, el resultado es: 2u327−u29\frac{2 u^{3}}{27} - \frac{u^{2}}{9}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −x3+2(3x+1)3227−19- \frac{x}{3} + \frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{1}{9}

  2. Ahora simplificar:

    −x3+2(3x+1)3227−19- \frac{x}{3} + \frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{1}{9}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x3+2(3x+1)3227−19+constant- \frac{x}{3} + \frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{1}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x3+2(3x+1)3227−19+constant- \frac{x}{3} + \frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{1}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                 
 |                                               3/2
 |        x               1       x   2*(3*x + 1)   
 | --------------- dx = - - + C - - + --------------
 |   _________            9       3         27      
 | \/ 3*x + 1  + 1                                  
 |                                                  
/
∫x3x+1+1 dx=C−x3+2(3x+1)3227−19\int \frac{x}{\sqrt{3 x + 1} + 1}\, dx = C - \frac{x}{3} + \frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{1}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5/27
527\frac{5}{27} 
=
= 
5/27
527\frac{5}{27} 
5/27
Respuesta numérica [src] 
0.185185185185185
0.185185185185185

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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