Integral de tg(x/3) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} dx}{3}$ y ponemos $- 3 du$:

      $\int \left(- \frac{3}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - 3 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{x}{3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

      $\int \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = 3 \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $- 3 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$