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Resolución de integrales/ e^(√2x-1)/√2x-1

Integral de e^(√2x-1)/√2x-1 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  /   _____        \   
 |  | \/ 2*x  - 1    |   
 |  |E               |   
 |  |------------ - 1| dx
 |  |    _____       |   
 |  \  \/ 2*x        /   
 |                       
/                        
0
∫01(e2x−12x−1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{e^{\sqrt{2 x} - 1}}{\sqrt{2 x}} - 1\right)\, dx 
Integral(E^(sqrt(2*x) - 1)/sqrt(2*x) - 1, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=2x−1u = \sqrt{2 x} - 1.

        Luego que du=2dx2xdu = \frac{\sqrt{2} dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos dudu:

        ∫eu du\int e^{u}\, du

        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2x−1e^{\sqrt{2 x} - 1}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        e2x−12x=2e2x2ex\frac{e^{\sqrt{2 x} - 1}}{\sqrt{2 x}} = \frac{\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{2 e \sqrt{x}}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e2x2ex dx=2∫e2xx dx2e\int \frac{\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{2 e \sqrt{x}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx}{2 e}

        1. que u=1xu = \frac{1}{\sqrt{x}}.

          Luego que du=−dx2x32du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}} y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2e2uu2) du\int \left(- \frac{2 e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2uu2 du=−2∫e2uu2 du\int \frac{e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\, du

            1. que u=2uu = \frac{\sqrt{2}}{u}.

              Luego que du=−2duu2du = - \frac{\sqrt{2} du}{u^{2}} y ponemos −2du2- \frac{\sqrt{2} du}{2}:

              ∫(−2eu2) du\int \left(- \frac{\sqrt{2} e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫eu du=−2∫eu du2\int e^{u}\, du = - \frac{\sqrt{2} \int e^{u}\, du}{2}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −2eu2- \frac{\sqrt{2} e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −2e2u2- \frac{\sqrt{2} e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 2e2u\sqrt{2} e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2e2x\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}

        Por lo tanto, el resultado es: e2xe\frac{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{e}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        e2x−12x=2e2x2ex\frac{e^{\sqrt{2 x} - 1}}{\sqrt{2 x}} = \frac{\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{2 e \sqrt{x}}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e2x2ex dx=2∫e2xx dx2e\int \frac{\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{2 e \sqrt{x}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx}{2 e}

        1. que u=1xu = \frac{1}{\sqrt{x}}.

          Luego que du=−dx2x32du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}} y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2e2uu2) du\int \left(- \frac{2 e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2uu2 du=−2∫e2uu2 du\int \frac{e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\, du

            1. que u=2uu = \frac{\sqrt{2}}{u}.

              Luego que du=−2duu2du = - \frac{\sqrt{2} du}{u^{2}} y ponemos −2du2- \frac{\sqrt{2} du}{2}:

              ∫(−2eu2) du\int \left(- \frac{\sqrt{2} e^{u}}{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫eu du=−2∫eu du2\int e^{u}\, du = - \frac{\sqrt{2} \int e^{u}\, du}{2}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −2eu2- \frac{\sqrt{2} e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −2e2u2- \frac{\sqrt{2} e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 2e2u\sqrt{2} e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2e2x\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}

        Por lo tanto, el resultado es: e2xe\frac{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{e}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

    El resultado es: −x+e2x−1- x + e^{\sqrt{2 x} - 1}

  2. Ahora simplificar:

    −x+e2x−1- x + e^{\sqrt{2} \sqrt{x} - 1}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x+e2x−1+constant- x + e^{\sqrt{2} \sqrt{x} - 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x+e2x−1+constant- x + e^{\sqrt{2} \sqrt{x} - 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                             
 | /   _____        \                          
 | | \/ 2*x  - 1    |                 _____    
 | |E               |               \/ 2*x  - 1
 | |------------ - 1| dx = C - x + e           
 | |    _____       |                          
 | \  \/ 2*x        /                          
 |                                             
/
∫(e2x−12x−1) dx=C−x+e2x−1\int \left(\frac{e^{\sqrt{2 x} - 1}}{\sqrt{2 x}} - 1\right)\, dx = C - x + e^{\sqrt{2 x} - 1}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90025
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                  ___
      -1    -1  \/ 2 
-1 - e   + e  *e
−1−e−1+e2e-1 - e^{-1} + \frac{e^{\sqrt{2}}}{e} 
=
= 
                  ___
      -1    -1  \/ 2 
-1 - e   + e  *e
−1−e−1+e2e-1 - e^{-1} + \frac{e^{\sqrt{2}}}{e} 
-1 - exp(-1) + exp(-1)*exp(sqrt(2))
Respuesta numérica [src] 
0.14530080939919
0.14530080939919

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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