Integral de e^(√2x-1)/√2x-1 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt{2 x} - 1$.

         Luego que $du = \frac{\sqrt{2} dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{\sqrt{2 x} - 1}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{e^{\sqrt{2 x} - 1}}{\sqrt{2 x}} = \frac{\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{2 e \sqrt{x}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{2 e \sqrt{x}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx}{2 e}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\, du$

               1. que $u = \frac{\sqrt{2}}{u}$.

                  Luego que $du = - \frac{\sqrt{2} du}{u^{2}}$ y ponemos $- \frac{\sqrt{2} du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{\sqrt{2} e^{u}}{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int e^{u}\, du = - \frac{\sqrt{2} \int e^{u}\, du}{2}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sqrt{2} e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{e}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{e^{\sqrt{2 x} - 1}}{\sqrt{2 x}} = \frac{\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{2 e \sqrt{x}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{2 e \sqrt{x}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx}{2 e}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{u^{2}}\, du$

               1. que $u = \frac{\sqrt{2}}{u}$.

                  Luego que $du = - \frac{\sqrt{2} du}{u^{2}}$ y ponemos $- \frac{\sqrt{2} du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{\sqrt{2} e^{u}}{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int e^{u}\, du = - \frac{\sqrt{2} \int e^{u}\, du}{2}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sqrt{2} e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} e^{\frac{\sqrt{2}}{u}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sqrt{2} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}}{e}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

   El resultado es: $- x + e^{\sqrt{2 x} - 1}$

2. Ahora simplificar:

   $- x + e^{\sqrt{2} \sqrt{x} - 1}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + e^{\sqrt{2} \sqrt{x} - 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + e^{\sqrt{2} \sqrt{x} - 1}+ \mathrm{constant}$