Integral de 3x^2(1-8x^3)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 8 x^{3}$.

      Luego que $du = - 24 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{8}$:

      $\int \left(- \frac{u^{8}}{8}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{8}\, du = - \frac{\int u^{8}\, du}{8}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{72}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - 8 x^{3}\right)^{9}}{72}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3 x^{2} \left(1 - 8 x^{3}\right)^{8} = 50331648 x^{26} - 50331648 x^{23} + 22020096 x^{20} - 5505024 x^{17} + 860160 x^{14} - 86016 x^{11} + 5376 x^{8} - 192 x^{5} + 3 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 50331648 x^{26}\, dx = 50331648 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16777216 x^{27}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 50331648 x^{23}\right)\, dx = - 50331648 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2097152 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 22020096 x^{20}\, dx = 22020096 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1048576 x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5505024 x^{17}\right)\, dx = - 5505024 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{917504 x^{18}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 860160 x^{14}\, dx = 860160 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $57344 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 86016 x^{11}\right)\, dx = - 86016 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 7168 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5376 x^{8}\, dx = 5376 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1792 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 192 x^{5}\right)\, dx = - 192 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 32 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{3}$

      El resultado es: $\frac{16777216 x^{27}}{9} - 2097152 x^{24} + 1048576 x^{21} - \frac{917504 x^{18}}{3} + 57344 x^{15} - 7168 x^{12} + \frac{1792 x^{9}}{3} - 32 x^{6} + x^{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(8 x^{3} - 1\right)^{9}}{72}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(8 x^{3} - 1\right)^{9}}{72}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(8 x^{3} - 1\right)^{9}}{72}+ \mathrm{constant}$