Integral de (2-(x/3))^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \frac{x}{3} + 2$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{3}$ y ponemos $- 3 du$:

      $\int \left(- 3 u^{5}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = - 3 \int u^{5}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(- \frac{x}{3} + 2\right)^{6}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- \frac{x}{3} + 2\right)^{5} = - \frac{x^{5}}{243} + \frac{10 x^{4}}{81} - \frac{40 x^{3}}{27} + \frac{80 x^{2}}{9} - \frac{80 x}{3} + 32$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{5}}{243}\right)\, dx = - \frac{\int x^{5}\, dx}{243}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{6}}{1458}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{10 x^{4}}{81}\, dx = \frac{10 \int x^{4}\, dx}{81}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{5}}{81}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{40 x^{3}}{27}\right)\, dx = - \frac{40 \int x^{3}\, dx}{27}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 x^{4}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{80 x^{2}}{9}\, dx = \frac{80 \int x^{2}\, dx}{9}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{80 x^{3}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{80 x}{3}\right)\, dx = - \frac{80 \int x\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{40 x^{2}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 32\, dx = 32 x$

      El resultado es: $- \frac{x^{6}}{1458} + \frac{2 x^{5}}{81} - \frac{10 x^{4}}{27} + \frac{80 x^{3}}{27} - \frac{40 x^{2}}{3} + 32 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x - 6\right)^{6}}{1458}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x - 6\right)^{6}}{1458}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x - 6\right)^{6}}{1458}+ \mathrm{constant}$