Sr Examen

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Resolución de integrales/ (1-x)/ (x+3)/ (x+3)/(1-x)^1/2

Integral de (x+3)/(1-x)^1/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |    x + 3     
 |  --------- dx
 |    _______   
 |  \/ 1 - x    
 |              
/               
0
∫01x+31−x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 3}{\sqrt{1 - x}}\, dx 
Integral((x + 3)/sqrt(1 - x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1−xu = \sqrt{1 - x}.

      Luego que du=−dx21−xdu = - \frac{dx}{2 \sqrt{1 - x}} y ponemos dudu:

      ∫(2u2−8) du\int \left(2 u^{2} - 8\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u2 du=2∫u2 du\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u33\frac{2 u^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−8) du=−8u\int \left(-8\right)\, du = - 8 u

        El resultado es: 2u33−8u\frac{2 u^{3}}{3} - 8 u

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(1−x)323−81−x\frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 \sqrt{1 - x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+31−x=x1−x+31−x\frac{x + 3}{\sqrt{1 - x}} = \frac{x}{\sqrt{1 - x}} + \frac{3}{\sqrt{1 - x}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=11−xu = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}.

        Luego que du=dx2(1−x)32du = \frac{dx}{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

        ∫(−2(1−1u2)2+2−2u2) du\int \left(- 2 \left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} + 2 - \frac{2}{u^{2}}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2(1−1u2)2) du=−2∫(1−1u2)2 du\int \left(- 2 \left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1−1u2)2=1−2u2+1u4\left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                El resultado es: u+2u−13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1−1u2)2=u4−2u2+1u4\left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}

              2. Vuelva a escribir el integrando:

                u4−2u2+1u4=1−2u2+1u4\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

              3. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                El resultado es: u+2u−13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: −2u−4u+23u3- 2 u - \frac{4}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫2 du=2u\int 2\, du = 2 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          El resultado es: −2u+23u3- \frac{2}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2(1−x)323−21−x\frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{1 - x}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫31−x dx=3∫11−x dx\int \frac{3}{\sqrt{1 - x}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\, dx

        1. que u=1−xu = 1 - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −2u- 2 \sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −21−x- 2 \sqrt{1 - x}

        Por lo tanto, el resultado es: −61−x- 6 \sqrt{1 - x}

      El resultado es: 2(1−x)323−81−x\frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 \sqrt{1 - x}

  2. Ahora simplificar:

    −21−x(x+11)3- \frac{2 \sqrt{1 - x} \left(x + 11\right)}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −21−x(x+11)3+constant- \frac{2 \sqrt{1 - x} \left(x + 11\right)}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−21−x(x+11)3+constant- \frac{2 \sqrt{1 - x} \left(x + 11\right)}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                           3/2
 |   x + 3                _______   2*(1 - x)   
 | --------- dx = C - 8*\/ 1 - x  + ------------
 |   _______                             3      
 | \/ 1 - x                                     
 |                                              
/
∫x+31−x dx=C+2(1−x)323−81−x\int \frac{x + 3}{\sqrt{1 - x}}\, dx = C + \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 \sqrt{1 - x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-500500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
22/3
223\frac{22}{3} 
=
= 
22/3
223\frac{22}{3} 
22/3
Respuesta numérica [src] 
7.3333333312114
7.3333333312114

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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