Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de y/(sqrt(3+y^2))
Integral de x/(x^3+x^2+x+1)
Integral de (x^4+1)/(x^6+1)
Integral de x^3√(x^4+1)
Gráfico de la función y =:
(x^4+1)/(x^6+1)
Expresiones idénticas
(x^ cuatro + uno)/(x^ seis + uno)
(x en el grado 4 más 1) dividir por (x en el grado 6 más 1)
(x en el grado cuatro más uno) dividir por (x en el grado seis más uno)
(x4+1)/(x6+1)
x4+1/x6+1
(x⁴+1)/(x⁶+1)
x^4+1/x^6+1
(x^4+1) dividir por (x^6+1)
(x^4+1)/(x^6+1)dx
Expresiones semejantes
(x^4-1)/(x^6+1)
(x^4+1)/(x^6-1)

Resolución de integrales/ (x^4+1)/(x^6+1)

Integral de (x^4+1)/(x^6+1) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1          
  /          
 |           
 |   4       
 |  x  + 1   
 |  ------ dx
 |   6       
 |  x  + 1   
 |           
/            
0

\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{4} + 1}{x^{6} + 1}\, dx

Integral((x^4 + 1)/(x^6 + 1), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{4} + 1}{x^{6} + 1} = \frac{x^{2} + 1}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)} + \frac{2}{3 \left(x^{2} + 1\right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{x^{2} + 1}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} + 1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx}{3}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{2} + 1}{x^{4} - x^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}$
    2. Integramos término a término:
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      El resultado es: $\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{3}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{2}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}$
  El resultado es: $\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{3}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{4} + 1}{x^{6} + 1} = \frac{x^{4}}{x^{6} + 1} + \frac{1}{x^{6} + 1}$
2. Integramos término a término:
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{4}}{x^{6} + 1} = \frac{2 x^{2} - 1}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2 x^{2} - 1}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx}{3}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4} - x^{2} + 1} = \frac{2 x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2 x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{6} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{6} + \operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{3}$
      
      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}$
    El resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{1}{x^{6} + 1} = - \frac{x^{2} - 2}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)} + \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{x^{2} - 2}{3 \left(x^{4} - x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx}{3}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{2} - 2}{x^{4} - x^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1} - \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}$
      
      Integramos término a término:
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2}{x^{4} - x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{6} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{6} - \operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)} - \operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{3}$
      
      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3}$
    El resultado es: $- \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\sqrt{3} \log{\left(x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right)}}{12} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{6} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{6}$
  El resultado es: $\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{3}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                   
 |                                                                    
 |  4                  /  ___      \       /    ___      \            
 | x  + 1          atan\\/ 3  + 2*x/   atan\- \/ 3  + 2*x/   2*atan(x)
 | ------ dx = C + ----------------- + ------------------- + ---------
 |  6                      3                    3                3    
 | x  + 1                                                             
 |                                                                    
/

\int \frac{x^{4} + 1}{x^{6} + 1}\, dx = C + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x - \sqrt{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x + \sqrt{3} \right)}}{3}

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

pi
--
3

\frac{\pi}{3}

pi
--
3

\frac{\pi}{3}

pi/3

Respuesta numérica [src]

1.0471975511966

1.0471975511966

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (x^4+1)/(x^6+1) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2