Sr Examen
Integral de (2-x)/(x^2+2*x+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 2 - x | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 - x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((2 - x)/(x^2 + 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 2 - x | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 2 \
|------------| /3\
| 2 | |-|
2 - x \x + 2*x + 5/ \4/
------------ = - -------------- + --------------
2 2 2
x + 2*x + 5 / x 1\
|- - - -| + 1
\ 2 2/ o
/ | | 2 - x | ------------ dx | 2 = | x + 2*x + 5 | /
/
|
/ | 1
| 3* | -------------- dx
| 2*x + 2 | 2
| ------------ dx | / x 1\
| 2 | |- - - -| + 1
| x + 2*x + 5 | \ 2 2/
| |
/ /
- ------------------ + ----------------------
2 4 En integral
/
|
| 2*x + 2
- | ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 5
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
- | ----- du
| 5 + u
|
/ -log(5 + u)
------------- = ------------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 2
- | ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 5
| / 2 \
/ -log\5 + x + 2*x/
-------------------- = -------------------
2 2 En integral
/
|
| 1
3* | -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 2 2/
|
/
----------------------
4 hacemos el cambio
1 x
v = - - - -
2 2entonces
integral =
/
|
| 1
3* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ 3*atan(v)
-------------- = ---------
4 4 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
3* | -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 2 2/ /1 x\
| 3*atan|- + -|
/ \2 2/
---------------------- = -------------
4 2 La solución:
/1 x\
/ 2 \ 3*atan|- + -|
log\5 + x + 2*x/ \2 2/
C - ----------------- + -------------
2 2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ /1 x\ | / 2 \ 3*atan|- + -| | 2 - x log\5 + x + 2*x/ \2 2/ | ------------ dx = C - ----------------- + ------------- | 2 2 2 | x + 2*x + 5 | /
$$\int \frac{2 - x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx = C - \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 5 \right)}}{2} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(5) 3*atan(1/2) log(8) 3*pi ------ - ----------- - ------ + ---- 2 2 2 8
$$- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$
=
=
log(5) 3*atan(1/2) log(8) 3*pi ------ - ----------- - ------ + ---- 2 2 2 8
$$- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$
log(5)/2 - 3*atan(1/2)/2 - log(8)/2 + 3*pi/8
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.