Integral de y(x)*sin(t-x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x y$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(t - x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = y$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = t - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \sin{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\cos{\left(t - x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int y \cos{\left(t - x \right)}\, dx = y \int \cos{\left(t - x \right)}\, dx$

   1. que $u = t - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \sin{\left(t - x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- y \sin{\left(t - x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $y \left(x \cos{\left(t - x \right)} + \sin{\left(t - x \right)}\right)$

4. Añadimos la constante de integración:

   $y \left(x \cos{\left(t - x \right)} + \sin{\left(t - x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y \left(x \cos{\left(t - x \right)} + \sin{\left(t - x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$