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Resolución de integrales/ cos^5/ 9cos^5(x)+9sen^5(x)

Integral de 9cos^5(x)+9sen^5(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                          
   /                           
  |                            
  |  /     5           5   \   
  |  \9*cos (x) + 9*sin (x)/ dx
  |                            
 /                             
 0
∫02π(9sin⁡5(x)+9cos⁡5(x)) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(9 \sin^{5}{\left(x \right)} + 9 \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(9*cos(x)^5 + 9*sin(x)^5, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫9sin⁡5(x) dx=9∫sin⁡5(x) dx\int 9 \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡5(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)\sin^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡4(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡3(x)3\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          El resultado es: −cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡4(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡3(x)3\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          El resultado es: −cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −9cos⁡5(x)5+6cos⁡3(x)−9cos⁡(x)- \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫9cos⁡5(x) dx=9∫cos⁡5(x) dx\int 9 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡5(x)=(1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

      3. Integramos término a término:

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        El resultado es: sin⁡5(x)5−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 9sin⁡5(x)5−6sin⁡3(x)+9sin⁡(x)\frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)}

    El resultado es: 9sin⁡5(x)5−6sin⁡3(x)+9sin⁡(x)−9cos⁡5(x)5+6cos⁡3(x)−9cos⁡(x)\frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    9sin⁡5(x)5−6sin⁡3(x)+9sin⁡(x)−9cos⁡5(x)5+6cos⁡3(x)−9cos⁡(x)+constant\frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

9sin⁡5(x)5−6sin⁡3(x)+9sin⁡(x)−9cos⁡5(x)5+6cos⁡3(x)−9cos⁡(x)+constant\frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                    
 |                                                                                     5           5   
 | /     5           5   \                          3           3                 9*cos (x)   9*sin (x)
 | \9*cos (x) + 9*sin (x)/ dx = C - 9*cos(x) - 6*sin (x) + 6*cos (x) + 9*sin(x) - --------- + ---------
 |                                                                                    5           5    
/
∫(9sin⁡5(x)+9cos⁡5(x)) dx=C+9sin⁡5(x)5−6sin⁡3(x)+9sin⁡(x)−9cos⁡5(x)5+6cos⁡3(x)−9cos⁡(x)\int \left(9 \sin^{5}{\left(x \right)} + 9 \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
-2.2148747211414e-15
-2.2148747211414e-15

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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