Sr Examen

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Integral de 9cos^5(x)+9sen^5(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 2*pi                          
   /                           
  |                            
  |  /     5           5   \   
  |  \9*cos (x) + 9*sin (x)/ dx
  |                            
 /                             
 0                             
02π(9sin5(x)+9cos5(x))dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(9 \sin^{5}{\left(x \right)} + 9 \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx
Integral(9*cos(x)^5 + 9*sin(x)^5, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      9sin5(x)dx=9sin5(x)dx\int 9 \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin5(x)=(1cos2(x))2sin(x)\sin^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1cos2(x))2sin(x)=sin(x)cos4(x)2sin(x)cos2(x)+sin(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

            (u4)du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u4du=u4du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2sin(x)cos2(x))dx=2sin(x)cos2(x)dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

              (u2)du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                u2du=u2du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              cos3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos3(x)3\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          El resultado es: cos5(x)5+2cos3(x)3cos(x)- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1cos2(x))2sin(x)=sin(x)cos4(x)2sin(x)cos2(x)+sin(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

            (u4)du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u4du=u4du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2sin(x)cos2(x))dx=2sin(x)cos2(x)dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

              (u2)du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                u2du=u2du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              cos3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos3(x)3\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          El resultado es: cos5(x)5+2cos3(x)3cos(x)- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 9cos5(x)5+6cos3(x)9cos(x)- \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      9cos5(x)dx=9cos5(x)dx\int 9 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos5(x)=(1sin2(x))2cos(x)\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        (1sin2(x))2cos(x)=sin4(x)cos(x)2sin2(x)cos(x)+cos(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

      3. Integramos término a término:

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u4du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2sin2(x)cos(x))dx=2sin2(x)cos(x)dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            u2du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        El resultado es: sin5(x)52sin3(x)3+sin(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 9sin5(x)56sin3(x)+9sin(x)\frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)}

    El resultado es: 9sin5(x)56sin3(x)+9sin(x)9cos5(x)5+6cos3(x)9cos(x)\frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    9sin5(x)56sin3(x)+9sin(x)9cos5(x)5+6cos3(x)9cos(x)+constant\frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

9sin5(x)56sin3(x)+9sin(x)9cos5(x)5+6cos3(x)9cos(x)+constant\frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                                    
 |                                                                                     5           5   
 | /     5           5   \                          3           3                 9*cos (x)   9*sin (x)
 | \9*cos (x) + 9*sin (x)/ dx = C - 9*cos(x) - 6*sin (x) + 6*cos (x) + 9*sin(x) - --------- + ---------
 |                                                                                    5           5    
/                                                                                                      
(9sin5(x)+9cos5(x))dx=C+9sin5(x)56sin3(x)+9sin(x)9cos5(x)5+6cos3(x)9cos(x)\int \left(9 \sin^{5}{\left(x \right)} + 9 \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{9 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \sin^{3}{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 6 \cos^{3}{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(x \right)}
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-2020
Respuesta [src]
0
00
=
=
0
00
0
Respuesta numérica [src]
-2.2148747211414e-15
-2.2148747211414e-15

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.