Integral de 9cos^5(x)+9sen^5(x) dx
Solución
Solución detallada
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫9sin5(x)dx=9∫sin5(x)dx
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Vuelva a escribir el integrando:
sin5(x)=(1−cos2(x))2sin(x)
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−cos2(x))2sin(x)=sin(x)cos4(x)−2sin(x)cos2(x)+sin(x)
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Integramos término a término:
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que u=cos(x).
Luego que du=−sin(x)dx y ponemos −du:
∫(−u4)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u4du=−∫u4du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u4du=5u5
Por lo tanto, el resultado es: −5u5
Si ahora sustituir u más en:
−5cos5(x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2sin(x)cos2(x))dx=−2∫sin(x)cos2(x)dx
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que u=cos(x).
Luego que du=−sin(x)dx y ponemos −du:
∫(−u2)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2du=−∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −3u3
Si ahora sustituir u más en:
−3cos3(x)
Por lo tanto, el resultado es: 32cos3(x)
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La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(x)dx=−cos(x)
El resultado es: −5cos5(x)+32cos3(x)−cos(x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−cos2(x))2sin(x)=sin(x)cos4(x)−2sin(x)cos2(x)+sin(x)
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Integramos término a término:
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que u=cos(x).
Luego que du=−sin(x)dx y ponemos −du:
∫(−u4)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u4du=−∫u4du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u4du=5u5
Por lo tanto, el resultado es: −5u5
Si ahora sustituir u más en:
−5cos5(x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2sin(x)cos2(x))dx=−2∫sin(x)cos2(x)dx
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que u=cos(x).
Luego que du=−sin(x)dx y ponemos −du:
∫(−u2)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2du=−∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −3u3
Si ahora sustituir u más en:
−3cos3(x)
Por lo tanto, el resultado es: 32cos3(x)
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La integral del seno es un coseno menos:
∫sin(x)dx=−cos(x)
El resultado es: −5cos5(x)+32cos3(x)−cos(x)
Por lo tanto, el resultado es: −59cos5(x)+6cos3(x)−9cos(x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫9cos5(x)dx=9∫cos5(x)dx
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Vuelva a escribir el integrando:
cos5(x)=(1−sin2(x))2cos(x)
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−sin2(x))2cos(x)=sin4(x)cos(x)−2sin2(x)cos(x)+cos(x)
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Integramos término a término:
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u4du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u4du=5u5
Si ahora sustituir u más en:
5sin5(x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2sin2(x)cos(x))dx=−2∫sin2(x)cos(x)dx
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Si ahora sustituir u más en:
3sin3(x)
Por lo tanto, el resultado es: −32sin3(x)
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La integral del coseno es seno:
∫cos(x)dx=sin(x)
El resultado es: 5sin5(x)−32sin3(x)+sin(x)
Por lo tanto, el resultado es: 59sin5(x)−6sin3(x)+9sin(x)
El resultado es: 59sin5(x)−6sin3(x)+9sin(x)−59cos5(x)+6cos3(x)−9cos(x)
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Añadimos la constante de integración:
59sin5(x)−6sin3(x)+9sin(x)−59cos5(x)+6cos3(x)−9cos(x)+constant
Respuesta:
59sin5(x)−6sin3(x)+9sin(x)−59cos5(x)+6cos3(x)−9cos(x)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| 5 5
| / 5 5 \ 3 3 9*cos (x) 9*sin (x)
| \9*cos (x) + 9*sin (x)/ dx = C - 9*cos(x) - 6*sin (x) + 6*cos (x) + 9*sin(x) - --------- + ---------
| 5 5
/
∫(9sin5(x)+9cos5(x))dx=C+59sin5(x)−6sin3(x)+9sin(x)−59cos5(x)+6cos3(x)−9cos(x)
Gráfica
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.