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Resolución de integrales/ arcsin(x)/sin(x)-arccos(x)/cos(x)

Integral de arcsin(x)/sin(x)-arccos(x)/cos(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  /asin(x)   acos(x)\   
 |  |------- - -------| dx
 |  \ sin(x)    cos(x)/   
 |                        
/                         
0
∫01(−acos⁡(x)cos⁡(x)+asin⁡(x)sin⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx 
Integral(asin(x)/sin(x) - acos(x)/cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−acos⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫acos⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫acos⁡(x)cos⁡(x) dx\int \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −∫acos⁡(x)cos⁡(x) dx- \int \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      ∫asin⁡(x)sin⁡(x) dx\int \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx

    El resultado es: ∫asin⁡(x)sin⁡(x) dx−∫acos⁡(x)cos⁡(x) dx\int \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx - \int \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

  2. Añadimos la constante de integración:

    ∫asin⁡(x)sin⁡(x) dx−∫acos⁡(x)cos⁡(x) dx+constant\int \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx - \int \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

∫asin⁡(x)sin⁡(x) dx−∫acos⁡(x)cos⁡(x) dx+constant\int \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx - \int \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                               |               |           
 | /asin(x)   acos(x)\           | acos(x)       | asin(x)   
 | |------- - -------| dx = C -  | ------- dx +  | ------- dx
 | \ sin(x)    cos(x)/           |  cos(x)       |  sin(x)   
 |                               |               |           
/                               /               /
∫(−acos⁡(x)cos⁡(x)+asin⁡(x)sin⁡(x)) dx=C+∫asin⁡(x)sin⁡(x) dx−∫acos⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx = C + \int \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx - \int \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
    1                1             
    /                /             
   |                |              
   |  acos(x)       |  -asin(x)    
-  |  ------- dx -  |  --------- dx
   |   cos(x)       |    sin(x)    
   |                |              
  /                /               
  0                0
−∫01acos⁡(x)cos⁡(x) dx−∫01(−asin⁡(x)sin⁡(x)) dx- \int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx - \int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx 
=
= 
    1                1             
    /                /             
   |                |              
   |  acos(x)       |  -asin(x)    
-  |  ------- dx -  |  --------- dx
   |   cos(x)       |    sin(x)    
   |                |              
  /                /               
  0                0
−∫01acos⁡(x)cos⁡(x) dx−∫01(−asin⁡(x)sin⁡(x)) dx- \int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx - \int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx 
-Integral(acos(x)/cos(x), (x, 0, 1)) - Integral(-asin(x)/sin(x), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
0.0183108493671383
0.0183108493671383

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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