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Resolución de integrales/ x^2+1/ log(x^2+1)/x^2

Integral de log(x^2+1)/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  + 1/   
 |  ----------- dx
 |        2       
 |       x        
 |                
/                 
1
∫1∞log⁡(x2+1)x2 dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x^{2}}\, dx 
Integral(log(x^2 + 1)/x^2, (x, 1, oo))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(x2+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}.

    Entonces du⁡(x)=2xx2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−2x2+1) dx=−2∫1x2+1 dx\int \left(- \frac{2}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

    Por lo tanto, el resultado es: −2atan⁡(x)- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    2atan⁡(x)−log⁡(x2+1)x2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x}

  4. Añadimos la constante de integración:

    2atan⁡(x)−log⁡(x2+1)x+constant2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2atan⁡(x)−log⁡(x2+1)x+constant2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                             
 |    / 2    \                         / 2    \
 | log\x  + 1/                      log\x  + 1/
 | ----------- dx = C + 2*atan(x) - -----------
 |       2                               x     
 |      x                                      
 |                                             
/
∫log⁡(x2+1)x2 dx=C+2atan⁡(x)−log⁡(x2+1)x\int \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x^{2}}\, dx = C + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x}
Simplificar
Gráfica
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.00900.61.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
pi         
-- + log(2)
2
log⁡(2)+π2\log{\left(2 \right)} + \frac{\pi}{2} 
=
= 
pi         
-- + log(2)
2
log⁡(2)+π2\log{\left(2 \right)} + \frac{\pi}{2} 
pi/2 + log(2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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