Integral de (x*sqrt(x)-1/2sqrt(x))/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{3} - u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{2} - \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} x - \frac{\sqrt{x}}{2}}{\sqrt{x}} = x - \frac{1}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} x - \frac{\sqrt{x}}{2}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2}{u^{5}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(x - 1\right)}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(x - 1\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x - 1\right)}{2}+ \mathrm{constant}$