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Integral de (4x-3)/(3x^2-4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |  4*x - 3    
 |  -------- dx
 |     2       
 |  3*x  - 4   
 |             
/              
0              
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{4 x - 3}{3 x^{2} - 4}\, dx$$
Integral((4*x - 3)/(3*x^2 - 4), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. que .

          Luego que y ponemos :

          1. Integral es .

          Si ahora sustituir más en:

        Por lo tanto, el resultado es:

      Por lo tanto, el resultado es:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=3, c=-4, context=1/(3*x**2 - 4), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=3, c=-4, context=1/(3*x**2 - 4), symbol=x), x**2 > 4/3), (ArctanhRule(a=1, b=3, c=-4, context=1/(3*x**2 - 4), symbol=x), x**2 < 4/3)], context=1/(3*x**2 - 4), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es:

    El resultado es:

  3. Ahora simplificar:

  4. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
                       //            /    ___\               \                   
                       ||   ___      |x*\/ 3 |               |                   
                       ||-\/ 3 *acoth|-------|               |                   
  /                    ||            \   2   /        2      |                   
 |                     ||----------------------  for x  > 4/3|        /        2\
 | 4*x - 3             ||          6                         |   2*log\-4 + 3*x /
 | -------- dx = C - 3*|<                                    | + ----------------
 |    2                ||            /    ___\               |          3        
 | 3*x  - 4            ||   ___      |x*\/ 3 |               |                   
 |                     ||-\/ 3 *atanh|-------|               |                   
/                      ||            \   2   /        2      |                   
                       ||----------------------  for x  < 4/3|                   
                       \\          6                         /                   
$$\int \frac{4 x - 3}{3 x^{2} - 4}\, dx = C - 3 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{4}{3} \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{4}{3} \end{cases}\right) + \frac{2 \log{\left(3 x^{2} - 4 \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta [src]
/      ___\ /          /         ___\\   /      ___\    /        ___\   /      ___\ /          /    ___\\   /      ___\    /    ___\
|2   \/ 3 | |          |     2*\/ 3 ||   |2   \/ 3 |    |    2*\/ 3 |   |2   \/ 3 | |          |2*\/ 3 ||   |2   \/ 3 |    |2*\/ 3 |
|- - -----|*|pi*I + log|-1 + -------|| + |- + -----|*log|1 + -------| - |- - -----|*|pi*I + log|-------|| - |- + -----|*log|-------|
\3     4  / \          \        3   //   \3     4  /    \       3   /   \3     4  / \          \   3   //   \3     4  /    \   3   /
$$- \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2}{3}\right) \log{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2}{3}\right) \log{\left(1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} - \left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \left(\log{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + i \pi\right) + \left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \left(\log{\left(-1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + i \pi\right)$$
=
=
/      ___\ /          /         ___\\   /      ___\    /        ___\   /      ___\ /          /    ___\\   /      ___\    /    ___\
|2   \/ 3 | |          |     2*\/ 3 ||   |2   \/ 3 |    |    2*\/ 3 |   |2   \/ 3 | |          |2*\/ 3 ||   |2   \/ 3 |    |2*\/ 3 |
|- - -----|*|pi*I + log|-1 + -------|| + |- + -----|*log|1 + -------| - |- - -----|*|pi*I + log|-------|| - |- + -----|*log|-------|
\3     4  / \          \        3   //   \3     4  /    \       3   /   \3     4  / \          \   3   //   \3     4  /    \   3   /
$$- \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2}{3}\right) \log{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2}{3}\right) \log{\left(1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} - \left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \left(\log{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + i \pi\right) + \left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \left(\log{\left(-1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)} + i \pi\right)$$
(2/3 - sqrt(3)/4)*(pi*i + log(-1 + 2*sqrt(3)/3)) + (2/3 + sqrt(3)/4)*log(1 + 2*sqrt(3)/3) - (2/3 - sqrt(3)/4)*(pi*i + log(2*sqrt(3)/3)) - (2/3 + sqrt(3)/4)*log(2*sqrt(3)/3)
Respuesta numérica [src]
0.216322753704826
0.216322753704826

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.