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Resolución de integrales/ cos^2/ sin^5/ 25/4(sin^5xcos^2x)

Integral de 25/4(sin^5xcos^2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                      
 --                      
 2                       
  /                      
 |                       
 |        5       2      
 |  25*sin (x)*cos (x)   
 |  ------------------ dx
 |          4            
 |                       
/                        
0
∫0π225sin⁡5(x)cos⁡2(x)4 dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{25 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx 
Integral(25*(sin(x)^5*cos(x)^2)/4, (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫25sin⁡5(x)cos⁡2(x)4 dx=25∫sin⁡5(x)cos⁡2(x) dx4\int \frac{25 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{25 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡5(x)cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(−u6+2u4−u2) du\int \left(- u^{6} + 2 u^{4} - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u6) du=−∫u6 du\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u4 du=2∫u4 du\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u55\frac{2 u^{5}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: −u77+2u55−u33- \frac{u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡7(x)7+2cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡2(x)=sin⁡(x)cos⁡6(x)−2sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡5(x)5\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: −cos⁡7(x)7+2cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡2(x)=sin⁡(x)cos⁡6(x)−2sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡5(x)5\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: −cos⁡7(x)7+2cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: −25cos⁡7(x)28+5cos⁡5(x)2−25cos⁡3(x)12- \frac{25 \cos^{7}{\left(x \right)}}{28} + \frac{5 \cos^{5}{\left(x \right)}}{2} - \frac{25 \cos^{3}{\left(x \right)}}{12}

  2. Ahora simplificar:

    −5(15sin⁡4(x)+12sin⁡2(x)+8)cos⁡3(x)84- \frac{5 \left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{84}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −5(15sin⁡4(x)+12sin⁡2(x)+8)cos⁡3(x)84+constant- \frac{5 \left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{84}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−5(15sin⁡4(x)+12sin⁡2(x)+8)cos⁡3(x)84+constant- \frac{5 \left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{84}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                               
 |                                                                
 |       5       2                   3            7           5   
 | 25*sin (x)*cos (x)          25*cos (x)   25*cos (x)   5*cos (x)
 | ------------------ dx = C - ---------- - ---------- + ---------
 |         4                       12           28           2    
 |                                                                
/
∫25sin⁡5(x)cos⁡2(x)4 dx=C−25cos⁡7(x)28+5cos⁡5(x)2−25cos⁡3(x)12\int \frac{25 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = C - \frac{25 \cos^{7}{\left(x \right)}}{28} + \frac{5 \cos^{5}{\left(x \right)}}{2} - \frac{25 \cos^{3}{\left(x \right)}}{12}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
10
--
21
1021\frac{10}{21} 
=
= 
10
--
21
1021\frac{10}{21} 
10/21
Respuesta numérica [src] 
0.476190476190476
0.476190476190476

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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