Integral de ln(tan(x)) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x}{\tan{\left(x \right)}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x}{\tan{\left(x \right)}} = x \tan{\left(x \right)} + \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}$

   3. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx$

      El resultado es: $\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} = x \tan{\left(x \right)} + \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx$

      El resultado es: $\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx - \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx - \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$