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Resolución de integrales/ ln(x)/ ln(x)/x^3

Integral de ln(x)/x^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo          
  /          
 |           
 |  log(x)   
 |  ------ dx
 |     3     
 |    x      
 |           
/            
2
∫2∞log⁡(x)x3 dx\int\limits_{2}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\, dx 
Integral(log(x)/x^3, (x, 2, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫ue−2u du\int u e^{- 2 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−2uu = - 2 u.

          Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e−2u2) du=−∫e−2u du2\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}

        1. que u=−2uu = - 2 u.

          Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e−2u4\frac{e^{- 2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(x)2x2−14x2- \frac{\log{\left(x \right)}}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{3}}.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−12x3) dx=−∫1x3 dx2\int \left(- \frac{1}{2 x^{3}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{3}}\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 14x2\frac{1}{4 x^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    −2log⁡(x)+14x2- \frac{2 \log{\left(x \right)} + 1}{4 x^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2log⁡(x)+14x2+constant- \frac{2 \log{\left(x \right)} + 1}{4 x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2log⁡(x)+14x2+constant- \frac{2 \log{\left(x \right)} + 1}{4 x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             
 |                              
 | log(x)           1     log(x)
 | ------ dx = C - ---- - ------
 |    3               2       2 
 |   x             4*x     2*x  
 |                              
/
∫log⁡(x)x3 dx=C−log⁡(x)2x2−14x2\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}}
Simplificar
Gráfica
2.00002.01002.00102.00202.00302.00402.00502.00602.00702.00802.00900.25-0.25
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1    log(2)
-- + ------
16     8
116+log⁡(2)8\frac{1}{16} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{8} 
=
= 
1    log(2)
-- + ------
16     8
116+log⁡(2)8\frac{1}{16} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{8} 
1/16 + log(2)/8

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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