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Integral de (3×2^x-2×3^x)/2^x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1               
  /               
 |                
 |     x      x   
 |  3*2  - 2*3    
 |  ----------- dx
 |        x       
 |       2        
 |                
/                 
0                 
0132x23x2xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x}}{2^{x}}\, dx
Integral((3*2^x - 2*3^x)/2^x, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    32x23x2x=22x3x+32x2x\frac{3 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x}}{2^{x}} = - 2 \cdot 2^{- x} 3^{x} + 3 \cdot 2^{- x} 2^{x}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (22x3x)dx=22x3xdx\int \left(- 2 \cdot 2^{- x} 3^{x}\right)\, dx = - 2 \int 2^{- x} 3^{x}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        3x2xlog(3)+2xlog(2)- \frac{3^{x}}{- 2^{x} \log{\left(3 \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: 23x2xlog(3)+2xlog(2)\frac{2 \cdot 3^{x}}{- 2^{x} \log{\left(3 \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      32x2xdx=32x2xdx\int 3 \cdot 2^{- x} 2^{x}\, dx = 3 \int 2^{- x} 2^{x}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2xu = 2^{x}.

          Luego que du=2xlog(2)dxdu = 2^{x} \log{\left(2 \right)} dx y ponemos dulog(2)\frac{du}{\log{\left(2 \right)}}:

          1ulog(2)du\int \frac{1}{u \log{\left(2 \right)}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udulog(2)\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{\log{\left(2 \right)}}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)log(2)\frac{\log{\left(u \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(2x)log(2)\frac{\log{\left(2^{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

        Método #2

        1. que u=2xu = 2^{- x}.

          Luego que du=2xlog(2)dxdu = - 2^{- x} \log{\left(2 \right)} dx y ponemos dulog(2)- \frac{du}{\log{\left(2 \right)}}:

          (1ulog(2))du\int \left(- \frac{1}{u \log{\left(2 \right)}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udulog(2)\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{\log{\left(2 \right)}}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)log(2)- \frac{\log{\left(u \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(2x)log(2)- \frac{\log{\left(2^{- x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: 3log(2x)log(2)\frac{3 \log{\left(2^{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

    El resultado es: 23x2xlog(3)+2xlog(2)+3log(2x)log(2)\frac{2 \cdot 3^{x}}{- 2^{x} \log{\left(3 \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)}} + \frac{3 \log{\left(2^{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    2x(2xlog(827)log(2x)+3xlog(4))log(23)log(2)\frac{2^{- x} \left(2^{x} \log{\left(\frac{8}{27} \right)} \log{\left(2^{x} \right)} + 3^{x} \log{\left(4 \right)}\right)}{\log{\left(\frac{2}{3} \right)} \log{\left(2 \right)}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    2x(2xlog(827)log(2x)+3xlog(4))log(23)log(2)+constant\frac{2^{- x} \left(2^{x} \log{\left(\frac{8}{27} \right)} \log{\left(2^{x} \right)} + 3^{x} \log{\left(4 \right)}\right)}{\log{\left(\frac{2}{3} \right)} \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2x(2xlog(827)log(2x)+3xlog(4))log(23)log(2)+constant\frac{2^{- x} \left(2^{x} \log{\left(\frac{8}{27} \right)} \log{\left(2^{x} \right)} + 3^{x} \log{\left(4 \right)}\right)}{\log{\left(\frac{2}{3} \right)} \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                      
 |                                                       
 |    x      x                      x                / x\
 | 3*2  - 2*3                    2*3            3*log\2 /
 | ----------- dx = C + --------------------- + ---------
 |       x               x           x            log(2) 
 |      2               2 *log(2) - 2 *log(3)            
 |                                                       
/                                                        
32x23x2xdx=23x2xlog(3)+2xlog(2)+C+3log(2x)log(2)\int \frac{3 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x}}{2^{x}}\, dx = \frac{2 \cdot 3^{x}}{- 2^{x} \log{\left(3 \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)}} + C + \frac{3 \log{\left(2^{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-10
Respuesta [src]
         2                    6                   6*log(3)               6*log(2)      
- ---------------- + -------------------- - -------------------- + --------------------
  -log(3) + log(2)   -2*log(3) + 2*log(2)   -2*log(3) + 2*log(2)   -2*log(3) + 2*log(2)
62log(3)+2log(2)+6log(2)2log(3)+2log(2)2log(3)+log(2)6log(3)2log(3)+2log(2)\frac{6}{- 2 \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{6 \log{\left(2 \right)}}{- 2 \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{2}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}} - \frac{6 \log{\left(3 \right)}}{- 2 \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}
=
=
         2                    6                   6*log(3)               6*log(2)      
- ---------------- + -------------------- - -------------------- + --------------------
  -log(3) + log(2)   -2*log(3) + 2*log(2)   -2*log(3) + 2*log(2)   -2*log(3) + 2*log(2)
62log(3)+2log(2)+6log(2)2log(3)+2log(2)2log(3)+log(2)6log(3)2log(3)+2log(2)\frac{6}{- 2 \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{6 \log{\left(2 \right)}}{- 2 \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{2}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}} - \frac{6 \log{\left(3 \right)}}{- 2 \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}
-2/(-log(3) + log(2)) + 6/(-2*log(3) + 2*log(2)) - 6*log(3)/(-2*log(3) + 2*log(2)) + 6*log(2)/(-2*log(3) + 2*log(2))
Respuesta numérica [src]
0.533696537623568
0.533696537623568

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.