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Resolución de integrales/ sin(t)/ (t/pi-13*sin(t))*sin(t)

Integral de (t/pi-13*sin(t))*sin(t) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                           
  /                           
 |                            
 |  /t             \          
 |  |-- - 13*sin(t)|*sin(t) dt
 |  \pi            /          
 |                            
/                             
0
∫0π(tπ−13sin⁡(t))sin⁡(t) dt\int\limits_{0}^{\pi} \left(\frac{t}{\pi} - 13 \sin{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)}\, dt 
Integral((t/pi - 13*sin(t))*sin(t), (t, 0, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tπ−13sin⁡(t))sin⁡(t)=tsin⁡(t)−13πsin⁡2(t)π\left(\frac{t}{\pi} - 13 \sin{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)} = \frac{t \sin{\left(t \right)} - 13 \pi \sin^{2}{\left(t \right)}}{\pi}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫tsin⁡(t)−13πsin⁡2(t)π dt=∫(tsin⁡(t)−13πsin⁡2(t)) dtπ\int \frac{t \sin{\left(t \right)} - 13 \pi \sin^{2}{\left(t \right)}}{\pi}\, dt = \frac{\int \left(t \sin{\left(t \right)} - 13 \pi \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt}{\pi}

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=tu{\left(t \right)} = t y que dv⁡(t)=sin⁡(t)\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}.

          Entonces du⁡(t)=1\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(t) dt=−cos⁡(t)\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(t)) dt=−∫cos⁡(t) dt\int \left(- \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \cos{\left(t \right)}\, dt

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(t)- \sin{\left(t \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13πsin⁡2(t)) dt=−13π∫sin⁡2(t) dt\int \left(- 13 \pi \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 13 \pi \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡2(t)=12−cos⁡(2t)2\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡(2t)2) dt=−∫cos⁡(2t) dt2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

              1. que u=2tu = 2 t.

                Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2t)4- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

            El resultado es: t2−sin⁡(2t)4\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −13π(t2−sin⁡(2t)4)- 13 \pi \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)

        El resultado es: −tcos⁡(t)−13π(t2−sin⁡(2t)4)+sin⁡(t)- t \cos{\left(t \right)} - 13 \pi \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + \sin{\left(t \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −tcos⁡(t)−13π(t2−sin⁡(2t)4)+sin⁡(t)π\frac{- t \cos{\left(t \right)} - 13 \pi \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + \sin{\left(t \right)}}{\pi}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (tπ−13sin⁡(t))sin⁡(t)=tsin⁡(t)π−13sin⁡2(t)\left(\frac{t}{\pi} - 13 \sin{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)} = \frac{t \sin{\left(t \right)}}{\pi} - 13 \sin^{2}{\left(t \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫tsin⁡(t)π dt=∫tsin⁡(t) dtπ\int \frac{t \sin{\left(t \right)}}{\pi}\, dt = \frac{\int t \sin{\left(t \right)}\, dt}{\pi}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=tu{\left(t \right)} = t y que dv⁡(t)=sin⁡(t)\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}.

          Entonces du⁡(t)=1\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(t) dt=−cos⁡(t)\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(t)) dt=−∫cos⁡(t) dt\int \left(- \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \cos{\left(t \right)}\, dt

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(t)- \sin{\left(t \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −tcos⁡(t)+sin⁡(t)π\frac{- t \cos{\left(t \right)} + \sin{\left(t \right)}}{\pi}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−13sin⁡2(t)) dt=−13∫sin⁡2(t) dt\int \left(- 13 \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 13 \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(t)=12−cos⁡(2t)2\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2t)2) dt=−∫cos⁡(2t) dt2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

            1. que u=2tu = 2 t.

              Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2t)4- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

          El resultado es: t2−sin⁡(2t)4\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −13t2+13sin⁡(2t)4- \frac{13 t}{2} + \frac{13 \sin{\left(2 t \right)}}{4}

      El resultado es: −13t2+−tcos⁡(t)+sin⁡(t)π+13sin⁡(2t)4- \frac{13 t}{2} + \frac{- t \cos{\left(t \right)} + \sin{\left(t \right)}}{\pi} + \frac{13 \sin{\left(2 t \right)}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    −tcos⁡(t)−13π(2t−sin⁡(2t))4+sin⁡(t)π\frac{- t \cos{\left(t \right)} - \frac{13 \pi \left(2 t - \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4} + \sin{\left(t \right)}}{\pi}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −tcos⁡(t)−13π(2t−sin⁡(2t))4+sin⁡(t)π+constant\frac{- t \cos{\left(t \right)} - \frac{13 \pi \left(2 t - \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4} + \sin{\left(t \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−tcos⁡(t)−13π(2t−sin⁡(2t))4+sin⁡(t)π+constant\frac{- t \cos{\left(t \right)} - \frac{13 \pi \left(2 t - \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4} + \sin{\left(t \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   /t   sin(2*t)\         
 |                                  -t*cos(t) - 13*pi*|- - --------| + sin(t)
 | /t             \                                   \2      4    /         
 | |-- - 13*sin(t)|*sin(t) dt = C + -----------------------------------------
 | \pi            /                                     pi                   
 |                                                                           
/
∫(tπ−13sin⁡(t))sin⁡(t) dt=C+−tcos⁡(t)−13π(t2−sin⁡(2t)4)+sin⁡(t)π\int \left(\frac{t}{\pi} - 13 \sin{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)}\, dt = C + \frac{- t \cos{\left(t \right)} - 13 \pi \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + \sin{\left(t \right)}}{\pi}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    13*pi
1 - -----
      2
1−13π21 - \frac{13 \pi}{2} 
=
= 
    13*pi
1 - -----
      2
1−13π21 - \frac{13 \pi}{2} 
1 - 13*pi/2
Respuesta numérica [src] 
-19.4203522483337
-19.4203522483337

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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