Integral de pi(e^x+1)^2dx dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(e^{x} + 1\right)^{2}\, dx = \pi \int \left(e^{x} + 1\right)^{2}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u} = u + 2 + \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, du = 2 u$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 2 u + \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 x}}{2} + 2 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{x} + 1\right)^{2} = e^{2 x} + 2 e^{x} + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{x}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $x + \frac{e^{2 x}}{2} + 2 e^{x}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{x} + 1\right)^{2} = e^{2 x} + 2 e^{x} + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{x}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $x + \frac{e^{2 x}}{2} + 2 e^{x}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(\frac{e^{2 x}}{2} + 2 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(e^{2 x} + 4 e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} \right)}\right)}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(e^{2 x} + 4 e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(e^{2 x} + 4 e^{x} + 2 \log{\left(e^{x} \right)}\right)}{2}+ \mathrm{constant}$