Integral de (x+arctan(x)+x²arctan(x))/(1+x²) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \left(x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$

2. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

            PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

            Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

         El resultado es: $x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. que $u = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x^{2} + 1}$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

      1. que $u = x^{2} + 1$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   1. que $u = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x^{2} + 1}$ y ponemos $du$:

      $\int u\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   El resultado es: $\left(x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $x \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$