Integral de (1-cos(2x))/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\cos{\left(2 x \right)} - 1}{x^{2}} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- 2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

         El resultado es: $- 2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- 2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{1}{x}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \operatorname{Si}{\left(2 x \right)} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$