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Resolución de integrales/ (x-1)/ x^2-3/ x^2-1/ -3x+2/ 1/((x-1)(x^2-1)(x^2-3x+2))

Integral de 1/((x-1)(x^2-1)(x^2-3x+2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                   
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 |                 1                  
 |  ------------------------------- dx
 |          / 2    \ / 2          \   
 |  (x - 1)*\x  - 1/*\x  - 3*x + 2/   
 |                                    
/                                     
0
∫011(x−1)(x2−1)((x2−3x)+2) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}\, dx 
Integral(1/(((x - 1)*(x^2 - 1))*(x^2 - 3*x + 2)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−1)(x2−1)((x2−3x)+2)=124(x+1)−38(x−1)−14(x−1)2−12(x−1)3+13(x−2)\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)} = \frac{1}{24 \left(x + 1\right)} - \frac{3}{8 \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫124(x+1) dx=∫1x+1 dx24\int \frac{1}{24 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{24}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)24\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{24}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−38(x−1)) dx=−3∫1x−1 dx8\int \left(- \frac{3}{8 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x - 1}\, dx}{8}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(x−1)8- \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−14(x−1)2) dx=−∫1(x−1)2 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx}{4}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−1- \frac{1}{x - 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 14(x−1)\frac{1}{4 \left(x - 1\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12(x−1)3) dx=−∫1(x−1)3 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx}{2}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12(x−1)2- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 14(x−1)2\frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫13(x−2) dx=∫1x−2 dx3\int \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)3\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3}

      El resultado es: log⁡(x−2)3−3log⁡(x−1)8+log⁡(x+1)24+14(x−1)+14(x−1)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{24} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−1)(x2−1)((x2−3x)+2)=1x5−4x4+4x3+2x2−5x+2\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)} = \frac{1}{x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x5−4x4+4x3+2x2−5x+2=124(x+1)−38(x−1)−14(x−1)2−12(x−1)3+13(x−2)\frac{1}{x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2} = \frac{1}{24 \left(x + 1\right)} - \frac{3}{8 \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫124(x+1) dx=∫1x+1 dx24\int \frac{1}{24 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{24}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)24\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{24}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−38(x−1)) dx=−3∫1x−1 dx8\int \left(- \frac{3}{8 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x - 1}\, dx}{8}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(x−1)8- \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−14(x−1)2) dx=−∫1(x−1)2 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx}{4}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−1- \frac{1}{x - 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 14(x−1)\frac{1}{4 \left(x - 1\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12(x−1)3) dx=−∫1(x−1)3 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx}{2}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12(x−1)2- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 14(x−1)2\frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫13(x−2) dx=∫1x−2 dx3\int \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)3\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3}

      El resultado es: log⁡(x−2)3−3log⁡(x−1)8+log⁡(x+1)24+14(x−1)+14(x−1)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{24} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−1)(x2−1)((x2−3x)+2)=1x5−4x4+4x3+2x2−5x+2\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)} = \frac{1}{x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x5−4x4+4x3+2x2−5x+2=124(x+1)−38(x−1)−14(x−1)2−12(x−1)3+13(x−2)\frac{1}{x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2} = \frac{1}{24 \left(x + 1\right)} - \frac{3}{8 \left(x - 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{3}} + \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫124(x+1) dx=∫1x+1 dx24\int \frac{1}{24 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{24}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)24\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{24}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−38(x−1)) dx=−3∫1x−1 dx8\int \left(- \frac{3}{8 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{x - 1}\, dx}{8}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(x−1)8- \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−14(x−1)2) dx=−∫1(x−1)2 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx}{4}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−1- \frac{1}{x - 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 14(x−1)\frac{1}{4 \left(x - 1\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12(x−1)3) dx=−∫1(x−1)3 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx}{2}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12(x−1)2- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 14(x−1)2\frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫13(x−2) dx=∫1x−2 dx3\int \frac{1}{3 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)3\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3}

      El resultado es: log⁡(x−2)3−3log⁡(x−1)8+log⁡(x+1)24+14(x−1)+14(x−1)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{24} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    6x+(x−1)3(8log⁡(x−2)−9log⁡(x−1)+log⁡(x+1))+6(x−1)2−624(x−1)3\frac{6 x + \left(x - 1\right)^{3} \left(8 \log{\left(x - 2 \right)} - 9 \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 6 \left(x - 1\right)^{2} - 6}{24 \left(x - 1\right)^{3}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    6x+(x−1)3(8log⁡(x−2)−9log⁡(x−1)+log⁡(x+1))+6(x−1)2−624(x−1)3+constant\frac{6 x + \left(x - 1\right)^{3} \left(8 \log{\left(x - 2 \right)} - 9 \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 6 \left(x - 1\right)^{2} - 6}{24 \left(x - 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

6x+(x−1)3(8log⁡(x−2)−9log⁡(x−1)+log⁡(x+1))+6(x−1)2−624(x−1)3+constant\frac{6 x + \left(x - 1\right)^{3} \left(8 \log{\left(x - 2 \right)} - 9 \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 6 \left(x - 1\right)^{2} - 6}{24 \left(x - 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                            
 |                                                                                                             
 |                1                         3*log(-1 + x)   log(-2 + x)       1             1        log(1 + x)
 | ------------------------------- dx = C - ------------- + ----------- + ---------- + ----------- + ----------
 |         / 2    \ / 2          \                8              3        4*(-1 + x)             2       24    
 | (x - 1)*\x  - 1/*\x  - 3*x + 2/                                                     4*(-1 + x)              
 |                                                                                                             
/
∫1(x−1)(x2−1)((x2−3x)+2) dx=C+log⁡(x−2)3−3log⁡(x−1)8+log⁡(x+1)24+14(x−1)+14(x−1)2\int \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{3} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{24} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900500000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     pi*I
oo + ----
      24
∞+iπ24\infty + \frac{i \pi}{24} 
=
= 
     pi*I
oo + ----
      24
∞+iπ24\infty + \frac{i \pi}{24} 
oo + pi*i/24
Respuesta numérica [src] 
4.57553801149576e+37
4.57553801149576e+37

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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