Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ (x/3)/ (5*x-2)*sin(x/3)

Integral de (5*x-2)*sin(x/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (5*x - 2)*sin|-| dx
 |               \3/   
 |                     
/                      
0
∫01(5x−2)sin⁡(x3) dx\int\limits_{0}^{1} \left(5 x - 2\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx 
Integral((5*x - 2)*sin(x/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x−2)sin⁡(x3)=5xsin⁡(x3)−2sin⁡(x3)\left(5 x - 2\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = 5 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(x3) dx=5∫xsin⁡(x3) dx\int 5 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3cos⁡(x3)) dx=−3∫cos⁡(x3) dx\int \left(- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −9sin⁡(x3)- 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −15xcos⁡(x3)+45sin⁡(x3)- 15 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 45 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x3)) dx=−2∫sin⁡(x3) dx\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

          Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

          ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6cos⁡(x3)6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      El resultado es: −15xcos⁡(x3)+45sin⁡(x3)+6cos⁡(x3)- 15 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 45 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=5x−2u{\left(x \right)} = 5 x - 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=5\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−15cos⁡(x3)) dx=−15∫cos⁡(x3) dx\int \left(- 15 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 15 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −45sin⁡(x3)- 45 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x−2)sin⁡(x3)=5xsin⁡(x3)−2sin⁡(x3)\left(5 x - 2\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = 5 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(x3) dx=5∫xsin⁡(x3) dx\int 5 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3cos⁡(x3)) dx=−3∫cos⁡(x3) dx\int \left(- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −9sin⁡(x3)- 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −15xcos⁡(x3)+45sin⁡(x3)- 15 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 45 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x3)) dx=−2∫sin⁡(x3) dx\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

          Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

          ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6cos⁡(x3)6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      El resultado es: −15xcos⁡(x3)+45sin⁡(x3)+6cos⁡(x3)- 15 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 45 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −15xcos⁡(x3)+45sin⁡(x3)+6cos⁡(x3)+constant- 15 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 45 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−15xcos⁡(x3)+45sin⁡(x3)+6cos⁡(x3)+constant- 15 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 45 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |              /x\               /x\         /x\           /x\
 | (5*x - 2)*sin|-| dx = C + 6*cos|-| + 45*sin|-| - 15*x*cos|-|
 |              \3/               \3/         \3/           \3/
 |                                                             
/
∫(5x−2)sin⁡(x3) dx=C−15xcos⁡(x3)+45sin⁡(x3)+6cos⁡(x3)\int \left(5 x - 2\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = C - 15 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 45 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-510
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-6 - 9*cos(1/3) + 45*sin(1/3)
−9cos⁡(13)−6+45sin⁡(13)- 9 \cos{\left(\frac{1}{3} \right)} - 6 + 45 \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} 
=
= 
-6 - 9*cos(1/3) + 45*sin(1/3)
−9cos⁡(13)−6+45sin⁡(13)- 9 \cos{\left(\frac{1}{3} \right)} - 6 + 45 \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} 
-6 - 9*cos(1/3) + 45*sin(1/3)
Respuesta numérica [src] 
0.219148838994212
0.219148838994212

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор