Integral de (x^2-2)/(x^(2/3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{3 u^{3} - 6}{2 \sqrt{u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 u^{3} - 6}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{3 u^{3} - 6}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u}}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{12 u^{6} - 6}{u^{8}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{12 u^{6} - 6}{u^{8}} = \frac{12}{u^{2}} - \frac{6}{u^{8}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{12}{u^{2}}\, du = 12 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{6}{u^{8}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{7 u^{7}}$

               El resultado es: $- \frac{12}{u} + \frac{6}{7 u^{7}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{7} - 12 \sqrt{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{\frac{7}{2}}}{7} - 6 \sqrt{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} - 6 \sqrt[3]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} - 2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

         Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{3}{2 u^{\frac{9}{2}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{3 \int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{2}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \sqrt[3]{x}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} - 6 \sqrt[3]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(x^{2} - 14\right)}{7}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(x^{2} - 14\right)}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(x^{2} - 14\right)}{7}+ \mathrm{constant}$