Integral de y^3/(y^4+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = y^{4} + 1$.

      Luego que $du = 4 y^{3} dy$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(y^{4} + 1 \right)}}{4}$

   Método #2

   1. que $u = y^{4}$.

      Luego que $du = 4 y^{3} dy$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{4 u + 4}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 4 u + 4$.

            Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(4 u + 4 \right)}}{4}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{4 u + 4} = \frac{1}{4 \left(u + 1\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{4 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{4}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(4 y^{4} + 4 \right)}}{4}$

   Método #3

   1. que $u = y^{2}$.

      Luego que $du = 2 y dy$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u^{2} + 2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{2 u^{2} + 2}\, du = \frac{\int \frac{4 u}{2 u^{2} + 2}\, du}{4}$

         1. que $u = 2 u^{2} + 2$.

            Luego que $du = 4 u du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(2 u^{2} + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 u^{2} + 2 \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 y^{4} + 2 \right)}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(y^{4} + 1 \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(y^{4} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(y^{4} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$