Sr Examen
Integral de (3+x)/(x^2+2*x+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3 + x | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 3}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((3 + x)/(x^2 + 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3 + x | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 2 \
|------------| /2\
| 2 | |-|
3 + x \x + 2*x + 5/ \4/
------------ = -------------- + --------------
2 2 2
x + 2*x + 5 / x 1\
|- - - -| + 1
\ 2 2/ o
/ | | 3 + x | ------------ dx | 2 = | x + 2*x + 5 | /
/
|
| 1 /
| -------------- dx |
| 2 | 2*x + 2
| / x 1\ | ------------ dx
| |- - - -| + 1 | 2
| \ 2 2/ | x + 2*x + 5
| |
/ /
-------------------- + ------------------
2 2 En integral
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 5
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 5 + u
|
/ log(5 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 5
| / 2 \
/ log\5 + x + 2*x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 2 2/
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
1 x
v = - - - -
2 2entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 2 2/
|
/ /1 x\
-------------------- = atan|- + -|
2 \2 2/La solución:
/ 2 \
log\5 + x + 2*x/ /1 x\
C + ----------------- + atan|- + -|
2 \2 2/
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ | 3 + x log\5 + x + 2*x/ /1 x\ | ------------ dx = C + ----------------- + atan|- + -| | 2 2 \2 2/ | x + 2*x + 5 | /
$$\int \frac{x + 3}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 5 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(8) log(5) pi ------ - atan(1/2) - ------ + -- 2 2 4
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$
=
=
log(8) log(5) pi ------ - atan(1/2) - ------ + -- 2 2 4
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$
log(8)/2 - atan(1/2) - log(5)/2 + pi/4
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.