Integral de (12+5x+x^6)/x^(2/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{15 u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{9} + 36}{2 \sqrt{u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{15 u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{9} + 36}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{15 u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{9} + 36}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u}}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{72 u^{18} + 30 u^{15} + 6}{u^{20}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{72 u^{18} + 30 u^{15} + 6}{u^{20}}\, du = - \int \frac{72 u^{18} + 30 u^{15} + 6}{u^{20}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{72 u^{18} + 30 u^{15} + 6}{u^{20}} = \frac{72}{u^{2}} + \frac{30}{u^{5}} + \frac{6}{u^{20}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{72}{u^{2}}\, du = 72 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{72}{u}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{30}{u^{5}}\, du = 30 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15}{2 u^{4}}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{6}{u^{20}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{20}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{20}}\, du = - \frac{1}{19 u^{19}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{19 u^{19}}$

                  El resultado es: $- \frac{72}{u} - \frac{15}{2 u^{4}} - \frac{6}{19 u^{19}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{72}{u} + \frac{15}{2 u^{4}} + \frac{6}{19 u^{19}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{6 u^{\frac{19}{2}}}{19} + 72 \sqrt{u} + \frac{15 u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{\frac{19}{2}}}{19} + 36 \sqrt{u} + \frac{15 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{19}{3}}}{19} + \frac{15 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 36 \sqrt[3]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{6} + \left(5 x + 12\right)}{x^{\frac{2}{3}}} = 5 \sqrt[3]{x} + \frac{x^{6}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \sqrt[3]{x}\, dx = 5 \int \sqrt[3]{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

         Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{3}{2 u^{\frac{21}{2}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{21}{2}}}\, du = - \frac{3 \int \frac{1}{u^{\frac{21}{2}}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{21}{2}}}\, du = - \frac{2}{19 u^{\frac{19}{2}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{19 u^{\frac{19}{2}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{\frac{19}{3}}}{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 12 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $36 \sqrt[3]{x}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{19}{3}}}{19} + \frac{15 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 36 \sqrt[3]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(4 x^{6} + 95 x + 912\right)}{76}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(4 x^{6} + 95 x + 912\right)}{76}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(4 x^{6} + 95 x + 912\right)}{76}+ \mathrm{constant}$