Integral de (ln^8(5x+10))/(x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(5 x + 10 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{5 dx}{5 x + 10}$ y ponemos $du$:

      $\int u^{8}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(5 x + 10 \right)}^{9}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(5 x + 10 \right)}^{8}}{x + 2} = \frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{8} + 8 \log{\left(5 \right)} \log{\left(x + 2 \right)}^{7} + 28 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{6} + 56 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(x + 2 \right)}^{5} + 70 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(x + 2 \right)}^{4} + 56 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(x + 2 \right)}^{3} + 28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(x + 2 \right)}^{2} + 8 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(x + 2 \right)} + \log{\left(5 \right)}^{8}}{x + 2}$

   2. que $u = x + 2$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}^{8} + 8 \log{\left(5 \right)} \log{\left(u \right)}^{7} + 28 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(u \right)}^{6} + 56 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(u \right)}^{5} + 70 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(u \right)}^{4} + 56 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(u \right)}^{3} + 28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(u \right)}^{2} + 8 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(u \right)} + \log{\left(5 \right)}^{8}}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} + 8 \log{\left(5 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} + 28 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6} + 56 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 70 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 56 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 8 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \log{\left(5 \right)}^{8}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} + 8 \log{\left(5 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} + 28 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6} + 56 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 70 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 56 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 8 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \log{\left(5 \right)}^{8}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} + 8 \log{\left(5 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} + 28 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6} + 56 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 70 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 56 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 8 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \log{\left(5 \right)}^{8}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

               $\int \left(- u^{8} - 8 u^{7} \log{\left(5 \right)} - 28 u^{6} \log{\left(5 \right)}^{2} - 56 u^{5} \log{\left(5 \right)}^{3} - 70 u^{4} \log{\left(5 \right)}^{4} - 56 u^{3} \log{\left(5 \right)}^{5} - 28 u^{2} \log{\left(5 \right)}^{6} - 8 u \log{\left(5 \right)}^{7} - \log{\left(5 \right)}^{8}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 8 u^{7} \log{\left(5 \right)}\right)\, du = - 8 \log{\left(5 \right)} \int u^{7}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- u^{8} \log{\left(5 \right)}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 28 u^{6} \log{\left(5 \right)}^{2}\right)\, du = - 28 \log{\left(5 \right)}^{2} \int u^{6}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u^{7} \log{\left(5 \right)}^{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 56 u^{5} \log{\left(5 \right)}^{3}\right)\, du = - 56 \log{\left(5 \right)}^{3} \int u^{5}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{28 u^{6} \log{\left(5 \right)}^{3}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 70 u^{4} \log{\left(5 \right)}^{4}\right)\, du = - 70 \log{\left(5 \right)}^{4} \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 14 u^{5} \log{\left(5 \right)}^{4}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 56 u^{3} \log{\left(5 \right)}^{5}\right)\, du = - 56 \log{\left(5 \right)}^{5} \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 14 u^{4} \log{\left(5 \right)}^{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 28 u^{2} \log{\left(5 \right)}^{6}\right)\, du = - 28 \log{\left(5 \right)}^{6} \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{28 u^{3} \log{\left(5 \right)}^{6}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 8 u \log{\left(5 \right)}^{7}\right)\, du = - 8 \log{\left(5 \right)}^{7} \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u^{2} \log{\left(5 \right)}^{7}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(- \log{\left(5 \right)}^{8}\right)\, du = - u \log{\left(5 \right)}^{8}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{9}}{9} - u^{8} \log{\left(5 \right)} - 4 u^{7} \log{\left(5 \right)}^{2} - \frac{28 u^{6} \log{\left(5 \right)}^{3}}{3} - 14 u^{5} \log{\left(5 \right)}^{4} - 14 u^{4} \log{\left(5 \right)}^{5} - \frac{28 u^{3} \log{\left(5 \right)}^{6}}{3} - 4 u^{2} \log{\left(5 \right)}^{7} - u \log{\left(5 \right)}^{8}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9}}{9} - \log{\left(5 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} - 4 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} - \frac{28 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{3} - 14 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 14 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} - \frac{28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - 4 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - \log{\left(5 \right)}^{8} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9}}{9} + \log{\left(5 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} + 4 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} + \frac{28 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{3} + 14 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 14 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + \frac{28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + 4 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(5 \right)}^{8} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(u \right)}^{9}}{9} + \log{\left(5 \right)} \log{\left(u \right)}^{8} + 4 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(u \right)}^{7} + \frac{28 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(u \right)}^{6}}{3} + 14 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(u \right)}^{5} + 14 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(u \right)}^{4} + \frac{28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(u \right)}^{3}}{3} + 4 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(u \right)}^{2} + \log{\left(5 \right)}^{8} \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{9}}{9} + \log{\left(5 \right)} \log{\left(x + 2 \right)}^{8} + 4 \log{\left(5 \right)}^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{7} + \frac{28 \log{\left(5 \right)}^{3} \log{\left(x + 2 \right)}^{6}}{3} + 14 \log{\left(5 \right)}^{4} \log{\left(x + 2 \right)}^{5} + 14 \log{\left(5 \right)}^{5} \log{\left(x + 2 \right)}^{4} + \frac{28 \log{\left(5 \right)}^{6} \log{\left(x + 2 \right)}^{3}}{3} + 4 \log{\left(5 \right)}^{7} \log{\left(x + 2 \right)}^{2} + \log{\left(5 \right)}^{8} \log{\left(x + 2 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(5 x + 10 \right)}^{9}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(5 x + 10 \right)}^{9}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(5 x + 10 \right)}^{9}}{9}+ \mathrm{constant}$