Sr Examen
Integral de 2*x/(x^2-x+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 2*x | ---------- dx | 2 | x - x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx$$
Integral((2*x)/(x^2 - x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 2*x | ---------- dx | 2 | x - x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
2*x 2*x - 1 1
---------- = ---------- + -------------------------------
2 2 / 2 \
x - x + 1 x - x + 1 |/ ___ ___\ |
||-2*\/ 3 \/ 3 | |
3/4*||--------*x + -----| + 1|
\\ 3 3 / /o
/ | | 2*x | ---------- dx | 2 = | x - x + 1 | /
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x + -----| + 1
| \ 3 3 / /
| |
/ | 2*x - 1
--------------------------------- + | ---------- dx
3 | 2
| x - x + 1
|
/ En integral
/ | | 2*x - 1 | ---------- dx | 2 | x - x + 1 | /
hacemos el cambio
2 u = x - x
entonces
integral =
/ | | 1 | ----- du = log(1 + u) | 1 + u | /
hacemos cambio inverso
/ | | 2*x - 1 / 2 \ | ---------- dx = log\1 + x - x/ | 2 | x - x + 1 | /
En integral
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x + -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/
---------------------------------
3 hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 2*x*\/ 3
v = ----- - ---------
3 3 entonces
integral =
/
|
| 1
4* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ 4*atan(v)
-------------- = ---------
3 3 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x + -----| + 1 / ___ ___\
| \ 3 3 / ___ | \/ 3 2*x*\/ 3 |
| 2*\/ 3 *atan|- ----- + ---------|
/ \ 3 3 /
--------------------------------- = ---------------------------------
3 3 La solución:
/ ___ ___\
___ | \/ 3 2*x*\/ 3 |
2*\/ 3 *atan|- ----- + ---------|
\ 3 3 / / 2 \
C + --------------------------------- + log\1 + x - x/
3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |2*\/ 3 *(-1/2 + x)| | 2*\/ 3 *atan|------------------| | 2*x \ 3 / / 2 \ | ---------- dx = C + -------------------------------- + log\1 + x - x/ | 2 3 | x - x + 1 | /
$$\int \frac{2 x}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx = C + \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)} + \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___
2*pi*\/ 3
----------
9
$$\frac{2 \sqrt{3} \pi}{9}$$
=
=
___
2*pi*\/ 3
----------
9
$$\frac{2 \sqrt{3} \pi}{9}$$
2*pi*sqrt(3)/9
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.