Integral de (4-x)/x^2+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u + 4}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u + 4}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u + 4}{u^{2}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 4}{u^{2}} = \frac{1}{u} + \frac{4}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{u^{2}}\, du = 4 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{u}$

               El resultado es: $\log{\left(u \right)} - \frac{4}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)} + \frac{4}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(- x \right)} - \frac{4}{x}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{4 - x}{x^{2}} = - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4}{x^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{x}$

         El resultado es: $- \log{\left(x \right)} - \frac{4}{x}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{4 - x}{x^{2}} = - \frac{x - 4}{x^{2}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x - 4}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{x - 4}{x^{2}}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x - 4}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4}{x^{2}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{x}$

            El resultado es: $\log{\left(x \right)} + \frac{4}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)} - \frac{4}{x}$

   El resultado es: $x - \log{\left(- x \right)} - \frac{4}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - \log{\left(- x \right)} - \frac{4}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \log{\left(- x \right)} - \frac{4}{x}+ \mathrm{constant}$