Integral de (4-x)e^-3x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $\frac{du}{e^{3}}$:

      $\int \frac{u^{2} + 4 u}{e^{3}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u^{2} + 4 u\right)\, du = \frac{\int \left(u^{2} + 4 u\right)\, du}{e^{3}}$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 u\, du = 4 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + 2 u^{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{u^{3}}{3} + 2 u^{2}}{e^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}}{e^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{4 - x}{e^{3}} = - \frac{x^{2}}{e^{3}} + \frac{4 x}{e^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{e^{3}}\right)\, dx = - \frac{\int x^{2}\, dx}{e^{3}}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3 e^{3}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{e^{3}}\, dx = \frac{4 \int x\, dx}{e^{3}}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{2}}{e^{3}}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3 e^{3}} + \frac{2 x^{2}}{e^{3}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{4 - x}{e^{3}} = - \frac{x^{2} - 4 x}{e^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2} - 4 x}{e^{3}}\right)\, dx = - \frac{\int \left(x^{2} - 4 x\right)\, dx}{e^{3}}$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 4 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}}{e^{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(6 - x\right)}{3 e^{3}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(6 - x\right)}{3 e^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(6 - x\right)}{3 e^{3}}+ \mathrm{constant}$