Integral de 3^x+5^(2x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

      $\int 3^{x}\, dx = \frac{3^{x}}{\log{\left(3 \right)}}$

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{5^{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{2}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5^{2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

   El resultado es: $\frac{3^{x}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{5^{2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{25^{x} \log{\left(3 \right)} + 3^{x} \log{\left(25 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)} \log{\left(5 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{25^{x} \log{\left(3 \right)} + 3^{x} \log{\left(25 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)} \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{25^{x} \log{\left(3 \right)} + 3^{x} \log{\left(25 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)} \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$