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Resolución de integrales/ x^(-2)/ (a+b*x-c*x^(-2))/x

Integral de (a+b*x-c*x^(-2))/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 t2                
  /                
 |                 
 |            c    
 |  a + b*x - --   
 |             2   
 |            x    
 |  ------------ dx
 |       x         
 |                 
/                  
t1
∫t1t2−cx2+(a+bx)x dx\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{- \frac{c}{x^{2}} + \left(a + b x\right)}{x}\, dx 
Integral((a + b*x - c/x^2)/x, (x, t1, t2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−au+b−cu3u2) du\int \left(- \frac{a u + b - c u^{3}}{u^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫−u3c+ua+bu2 du=−∫−u3c+ua+bu2 du\int \frac{- u^{3} c + u a + b}{u^{2}}\, du = - \int \frac{- u^{3} c + u a + b}{u^{2}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          −u3c+ua+bu2=−uc+au+bu2\frac{- u^{3} c + u a + b}{u^{2}} = - u c + \frac{a}{u} + \frac{b}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−uc) du=−c∫u du\int \left(- u c\right)\, du = - c \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u2c2- \frac{u^{2} c}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫au du=a∫1u du\int \frac{a}{u}\, du = a \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: alog⁡(u)a \log{\left(u \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫bu2 du=b∫1u2 du\int \frac{b}{u^{2}}\, du = b \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −bu- \frac{b}{u}

          El resultado es: −u2c2+alog⁡(u)−bu- \frac{u^{2} c}{2} + a \log{\left(u \right)} - \frac{b}{u}

        Por lo tanto, el resultado es: u2c2−alog⁡(u)+bu\frac{u^{2} c}{2} - a \log{\left(u \right)} + \frac{b}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      alog⁡(x)+bx+c2x2a \log{\left(x \right)} + b x + \frac{c}{2 x^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −cx2+(a+bx)x=ax+b−cx3\frac{- \frac{c}{x^{2}} + \left(a + b x\right)}{x} = \frac{a}{x} + b - \frac{c}{x^{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫ax dx=a∫1x dx\int \frac{a}{x}\, dx = a \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: alog⁡(x)a \log{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫b dx=bx\int b\, dx = b x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cx3) dx=−c∫1x3 dx\int \left(- \frac{c}{x^{3}}\right)\, dx = - c \int \frac{1}{x^{3}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: c2x2\frac{c}{2 x^{2}}

      El resultado es: alog⁡(x)+bx+c2x2a \log{\left(x \right)} + b x + \frac{c}{2 x^{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −cx2+(a+bx)x=ax2+bx3−cx3\frac{- \frac{c}{x^{2}} + \left(a + b x\right)}{x} = \frac{a x^{2} + b x^{3} - c}{x^{3}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      ax2+bx3−cx3=ax+b−cx3\frac{a x^{2} + b x^{3} - c}{x^{3}} = \frac{a}{x} + b - \frac{c}{x^{3}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫ax dx=a∫1x dx\int \frac{a}{x}\, dx = a \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: alog⁡(x)a \log{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫b dx=bx\int b\, dx = b x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cx3) dx=−c∫1x3 dx\int \left(- \frac{c}{x^{3}}\right)\, dx = - c \int \frac{1}{x^{3}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: c2x2\frac{c}{2 x^{2}}

      El resultado es: alog⁡(x)+bx+c2x2a \log{\left(x \right)} + b x + \frac{c}{2 x^{2}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    alog⁡(x)+bx+c2x2+constanta \log{\left(x \right)} + b x + \frac{c}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

alog⁡(x)+bx+c2x2+constanta \log{\left(x \right)} + b x + \frac{c}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 |           c                                
 | a + b*x - --                               
 |            2                               
 |           x                             c  
 | ------------ dx = C + a*log(x) + b*x + ----
 |      x                                    2
 |                                        2*x 
/
∫−cx2+(a+bx)x dx=C+alog⁡(x)+bx+c2x2\int \frac{- \frac{c}{x^{2}} + \left(a + b x\right)}{x}\, dx = C + a \log{\left(x \right)} + b x + \frac{c}{2 x^{2}}
Simplificar
Respuesta [src] 
                     c                          c  
a*log(t2) + b*t2 + ----- - a*log(t1) - b*t1 - -----
                       2                          2
                   2*t2                       2*t1
−alog⁡(t1)+alog⁡(t2)−bt1+bt2+c2t22−c2t12- a \log{\left(t_{1} \right)} + a \log{\left(t_{2} \right)} - b t_{1} + b t_{2} + \frac{c}{2 t_{2}^{2}} - \frac{c}{2 t_{1}^{2}} 
=
= 
                     c                          c  
a*log(t2) + b*t2 + ----- - a*log(t1) - b*t1 - -----
                       2                          2
                   2*t2                       2*t1
−alog⁡(t1)+alog⁡(t2)−bt1+bt2+c2t22−c2t12- a \log{\left(t_{1} \right)} + a \log{\left(t_{2} \right)} - b t_{1} + b t_{2} + \frac{c}{2 t_{2}^{2}} - \frac{c}{2 t_{1}^{2}} 
a*log(t2) + b*t2 + c/(2*t2^2) - a*log(t1) - b*t1 - c/(2*t1^2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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