Sr Examen

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Resolución de integrales/ 3*x-2/ e^(9*x)/ (3*x-2)*e^(9*x)

Integral de (3*x-2)*e^(9*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                  
 --                  
 2                   
  /                  
 |                   
 |             9*x   
 |  (3*x - 2)*E    dx
 |                   
/                    
0
∫0π2e9x(3x−2) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{9 x} \left(3 x - 2\right)\, dx 
Integral((3*x - 2)*E^(9*x), (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(ue3u3−2e3u3) du\int \left(\frac{u e^{3 u}}{3} - \frac{2 e^{3 u}}{3}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ue3u3 du=∫ue3u du3\int \frac{u e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int u e^{3 u}\, du}{3}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e3u3 du=∫e3u du3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: ue3u9−e3u27\frac{u e^{3 u}}{9} - \frac{e^{3 u}}{27}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2e3u3) du=−2∫e3u du3\int \left(- \frac{2 e^{3 u}}{3}\right)\, du = - \frac{2 \int e^{3 u}\, du}{3}

          1. que u=3uu = 3 u.

            Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −2e3u9- \frac{2 e^{3 u}}{9}

        El resultado es: ue3u9−7e3u27\frac{u e^{3 u}}{9} - \frac{7 e^{3 u}}{27}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xe9x3−7e9x27\frac{x e^{9 x}}{3} - \frac{7 e^{9 x}}{27}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e9x(3x−2)=3xe9x−2e9xe^{9 x} \left(3 x - 2\right) = 3 x e^{9 x} - 2 e^{9 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe9x dx=3∫xe9x dx\int 3 x e^{9 x}\, dx = 3 \int x e^{9 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e9x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{9 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫eu9 du\int \frac{e^{u}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu9\frac{e^{u}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e9x9\frac{e^{9 x}}{9}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e9x9 dx=∫e9x dx9\int \frac{e^{9 x}}{9}\, dx = \frac{\int e^{9 x}\, dx}{9}

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫eu9 du\int \frac{e^{u}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu9\frac{e^{u}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e9x9\frac{e^{9 x}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: e9x81\frac{e^{9 x}}{81}

        Por lo tanto, el resultado es: xe9x3−e9x27\frac{x e^{9 x}}{3} - \frac{e^{9 x}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2e9x) dx=−2∫e9x dx\int \left(- 2 e^{9 x}\right)\, dx = - 2 \int e^{9 x}\, dx

        1. que u=9xu = 9 x.

          Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

          ∫eu9 du\int \frac{e^{u}}{9}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu9\frac{e^{u}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e9x9\frac{e^{9 x}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −2e9x9- \frac{2 e^{9 x}}{9}

      El resultado es: xe9x3−7e9x27\frac{x e^{9 x}}{3} - \frac{7 e^{9 x}}{27}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e9x(3x−2)=3xe9x−2e9xe^{9 x} \left(3 x - 2\right) = 3 x e^{9 x} - 2 e^{9 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe9x dx=3∫xe9x dx\int 3 x e^{9 x}\, dx = 3 \int x e^{9 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e9x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{9 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫eu9 du\int \frac{e^{u}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu9\frac{e^{u}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e9x9\frac{e^{9 x}}{9}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e9x9 dx=∫e9x dx9\int \frac{e^{9 x}}{9}\, dx = \frac{\int e^{9 x}\, dx}{9}

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫eu9 du\int \frac{e^{u}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu9\frac{e^{u}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e9x9\frac{e^{9 x}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: e9x81\frac{e^{9 x}}{81}

        Por lo tanto, el resultado es: xe9x3−e9x27\frac{x e^{9 x}}{3} - \frac{e^{9 x}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2e9x) dx=−2∫e9x dx\int \left(- 2 e^{9 x}\right)\, dx = - 2 \int e^{9 x}\, dx

        1. que u=9xu = 9 x.

          Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

          ∫eu9 du\int \frac{e^{u}}{9}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu9\frac{e^{u}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e9x9\frac{e^{9 x}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −2e9x9- \frac{2 e^{9 x}}{9}

      El resultado es: xe9x3−7e9x27\frac{x e^{9 x}}{3} - \frac{7 e^{9 x}}{27}

  2. Ahora simplificar:

    (9x−7)e9x27\frac{\left(9 x - 7\right) e^{9 x}}{27}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (9x−7)e9x27+constant\frac{\left(9 x - 7\right) e^{9 x}}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(9x−7)e9x27+constant\frac{\left(9 x - 7\right) e^{9 x}}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       
 |                            9*x      9*x
 |            9*x          7*e      x*e   
 | (3*x - 2)*E    dx = C - ------ + ------
 |                           27       3   
/
∫e9x(3x−2) dx=C+xe9x3−7e9x27\int e^{9 x} \left(3 x - 2\right)\, dx = C + \frac{x e^{9 x}}{3} - \frac{7 e^{9 x}}{27}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5-50000005000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                  9*pi
                  ----
     /     9*pi\   2  
     |-7 + ----|*e    
7    \      2  /      
-- + -----------------
27           27
727+(−7+9π2)e9π227\frac{7}{27} + \frac{\left(-7 + \frac{9 \pi}{2}\right) e^{\frac{9 \pi}{2}}}{27} 
=
= 
                  9*pi
                  ----
     /     9*pi\   2  
     |-7 + ----|*e    
7    \      2  /      
-- + -----------------
27           27
727+(−7+9π2)e9π227\frac{7}{27} + \frac{\left(-7 + \frac{9 \pi}{2}\right) e^{\frac{9 \pi}{2}}}{27} 
7/27 + (-7 + 9*pi/2)*exp(9*pi/2)/27
Respuesta numérica [src] 
364633.018064906
364633.018064906

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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