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Resolución de integrales/ (x+4*x^(2/3)+8*x^(1/3)+5)/(x+2*x^(2/3))

Integral de (x+4*x^(2/3)+8*x^(1/3)+5)/(x+2*x^(2/3)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 27                            
  /                            
 |                             
 |         2/3     3 ___       
 |  x + 4*x    + 8*\/ x  + 5   
 |  ------------------------ dx
 |                2/3          
 |         x + 2*x             
 |                             
/                              
8
∫827(8x3+(4x23+x))+52x23+x dx\int\limits_{8}^{27} \frac{\left(8 \sqrt[3]{x} + \left(4 x^{\frac{2}{3}} + x\right)\right) + 5}{2 x^{\frac{2}{3}} + x}\, dx 
Integral((x + 4*x^(2/3) + 8*x^(1/3) + 5)/(x + 2*x^(2/3)), (x, 8, 27))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x23u = x^{\frac{2}{3}}.

      Luego que du=2dx3x3du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}} y ponemos dudu:

      ∫12u32+15u+3u2+24u2u32+4u du\int \frac{12 u^{\frac{3}{2}} + 15 \sqrt{u} + 3 u^{2} + 24 u}{2 u^{\frac{3}{2}} + 4 u}\, du

      1. que u=uu = \sqrt{u}.

        Luego que du=du2udu = \frac{du}{2 \sqrt{u}} y ponemos dudu:

        ∫3u3+12u2+24u+15u+2 du\int \frac{3 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 15}{u + 2}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          3u3+12u2+24u+15u+2=3u2+6u+12−9u+2\frac{3 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 15}{u + 2} = 3 u^{2} + 6 u + 12 - \frac{9}{u + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3u2 du=3∫u2 du\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u3u^{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫6u du=6∫u du\int 6 u\, du = 6 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 3u23 u^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 du=12u\int 12\, du = 12 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−9u+2) du=−9∫1u+2 du\int \left(- \frac{9}{u + 2}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u + 2}\, du

            1. que u=u+2u = u + 2.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u+2)\log{\left(u + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −9log⁡(u+2)- 9 \log{\left(u + 2 \right)}

          El resultado es: u3+3u2+12u−9log⁡(u+2)u^{3} + 3 u^{2} + 12 u - 9 \log{\left(u + 2 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        u32+12u+3u−9log⁡(u+2)u^{\frac{3}{2}} + 12 \sqrt{u} + 3 u - 9 \log{\left(\sqrt{u} + 2 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x23+12x3+x−9log⁡(x3+2)3 x^{\frac{2}{3}} + 12 \sqrt[3]{x} + x - 9 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}

    Método #2

    1. que u=x3u = \sqrt[3]{x}.

      Luego que du=dx3x23du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

      ∫3u3+12u2+24u+15u+2 du\int \frac{3 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 15}{u + 2}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        3u3+12u2+24u+15u+2=3u2+6u+12−9u+2\frac{3 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 15}{u + 2} = 3 u^{2} + 6 u + 12 - \frac{9}{u + 2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u2 du=3∫u2 du\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: u3u^{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6u du=6∫u du\int 6 u\, du = 6 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u23 u^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 du=12u\int 12\, du = 12 u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−9u+2) du=−9∫1u+2 du\int \left(- \frac{9}{u + 2}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u + 2}\, du

          1. que u=u+2u = u + 2.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u+2)\log{\left(u + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −9log⁡(u+2)- 9 \log{\left(u + 2 \right)}

        El resultado es: u3+3u2+12u−9log⁡(u+2)u^{3} + 3 u^{2} + 12 u - 9 \log{\left(u + 2 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x23+12x3+x−9log⁡(x3+2)3 x^{\frac{2}{3}} + 12 \sqrt[3]{x} + x - 9 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x23+12x3+x−9log⁡(x3+2)+constant3 x^{\frac{2}{3}} + 12 \sqrt[3]{x} + x - 9 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x23+12x3+x−9log⁡(x3+2)+constant3 x^{\frac{2}{3}} + 12 \sqrt[3]{x} + x - 9 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          
 |                                                                           
 |        2/3     3 ___                                                      
 | x + 4*x    + 8*\/ x  + 5                   /    3 ___\      2/3      3 ___
 | ------------------------ dx = C + x - 9*log\2 + \/ x / + 3*x    + 12*\/ x 
 |               2/3                                                         
 |        x + 2*x                                                            
 |                                                                           
/
∫(8x3+(4x23+x))+52x23+x dx=C+3x23+12x3+x−9log⁡(x3+2)\int \frac{\left(8 \sqrt[3]{x} + \left(4 x^{\frac{2}{3}} + x\right)\right) + 5}{2 x^{\frac{2}{3}} + x}\, dx = C + 3 x^{\frac{2}{3}} + 12 \sqrt[3]{x} + x - 9 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 2 \right)}
Simplificar
Gráfica
81012141618202224260100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
46 - 9*log(5) + 9*log(4)
−9log⁡(5)+9log⁡(4)+46- 9 \log{\left(5 \right)} + 9 \log{\left(4 \right)} + 46 
=
= 
46 - 9*log(5) + 9*log(4)
−9log⁡(5)+9log⁡(4)+46- 9 \log{\left(5 \right)} + 9 \log{\left(4 \right)} + 46 
46 - 9*log(5) + 9*log(4)
Respuesta numérica [src] 
43.9917080381721
43.9917080381721

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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