Sr Examen

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Integral de lnx/x×✓lnx+2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                           
  /                           
 |                            
 |  /log(x)   ________    \   
 |  |------*\/ log(x)  + 2| dx
 |  \  x                  /   
 |                            
/                             
0                             
01(log(x)xlog(x)+2)dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \sqrt{\log{\left(x \right)}} + 2\right)\, dx
Integral((log(x)/x)*sqrt(log(x)) + 2, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        u32du\int u^{\frac{3}{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u32du=2u525\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2log(x)525\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}

      Método #2

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du- du:

        (log(1u)32u)du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          log(1u)32udu=log(1u)32udu\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{u}\, du

          1. que u=log(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=duudu = - \frac{du}{u} y ponemos du- du:

            (u32)du\int \left(- u^{\frac{3}{2}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u32du=u32du\int u^{\frac{3}{2}}\, du = - \int u^{\frac{3}{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u32du=2u525\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: 2u525- \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2log(1u)525- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log(1u)525\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2log(x)525\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}

      Método #3

      1. que u=log(x)u = \sqrt{\log{\left(x \right)}}.

        Luego que du=dx2xlog(x)du = \frac{dx}{2 x \sqrt{\log{\left(x \right)}}} y ponemos 2du2 du:

        2u4du\int 2 u^{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          u4du=2u4du\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u55\frac{2 u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2log(x)525\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      2dx=2x\int 2\, dx = 2 x

    El resultado es: 2x+2log(x)5252 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x+2log(x)525+constant2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2x+2log(x)525+constant2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                  
 |                                             5/2   
 | /log(x)   ________    \                2*log   (x)
 | |------*\/ log(x)  + 2| dx = C + 2*x + -----------
 | \  x                  /                     5     
 |                                                   
/                                                    
(log(x)xlog(x)+2)dx=C+2x+2log(x)525\int \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \sqrt{\log{\left(x \right)}} + 2\right)\, dx = C + 2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}
Respuesta [src]
2 - oo*I
2i2 - \infty i
=
=
2 - oo*I
2i2 - \infty i
2 - oo*i
Respuesta numérica [src]
(2.0 - 5163.02929709864j)
(2.0 - 5163.02929709864j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.