Integral de lnx/x×✓lnx+2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{\frac{3}{2}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

      Método #2

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{\frac{3}{2}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = - \int u^{\frac{3}{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

      Método #3

      1. que $u = \sqrt{\log{\left(x \right)}}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 x \sqrt{\log{\left(x \right)}}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u^{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   El resultado es: $2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{5}{2}}}{5}+ \mathrm{constant}$