Integral de 1/x^4(x-2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{x^{4}} = \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}} - \frac{8}{x^{4}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{x^{2}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x^{3}}\, dx = 12 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{x^{4}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{3 x^{3}}$

      El resultado es: $\log{\left(x \right)} + \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{8}{3 x^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{x^{4}} = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x^{4}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x^{4}} = \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}} - \frac{8}{x^{4}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{x^{2}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x^{3}}\, dx = 12 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{x^{4}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{3 x^{3}}$

      El resultado es: $\log{\left(x \right)} + \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{8}{3 x^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x \right)} + \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{8}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)} + \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{8}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}$