Integral de x/(2+sqrt(x+4)) dx

1. que $u = \sqrt{x + 4}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 4}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u \left(u^{2} - 4\right)}{u + 2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u \left(u^{2} - 4\right)}{u + 2}\, du = 2 \int \frac{u \left(u^{2} - 4\right)}{u + 2}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u \left(u^{2} - 4\right)}{u + 2} = u^{2} - 2 u$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u^{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u \left(u^{2} - 4\right)}{u + 2} = \frac{u^{3}}{u + 2} - \frac{4 u}{u + 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{3}}{u + 2} = u^{2} - 2 u + 4 - \frac{8}{u + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 4\, du = 4 u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{8}{u + 2}\right)\, du = - 8 \int \frac{1}{u + 2}\, du$

                  1. que $u = u + 2$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(u + 2 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u^{2} + 4 u - 8 \log{\left(u + 2 \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4 u}{u + 2}\right)\, du = - 4 \int \frac{u}{u + 2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{u + 2} = 1 - \frac{2}{u + 2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{2}{u + 2}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u + 2}\, du$

                     1. que $u = u + 2$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u + 2 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u + 2 \right)}$

                  El resultado es: $u - 2 \log{\left(u + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u + 8 \log{\left(u + 2 \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u^{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - 2 u^{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- 2 x + \frac{2 \left(x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8$

2. Ahora simplificar:

   $- 2 x + \frac{2 \left(x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 x + \frac{2 \left(x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 x + \frac{2 \left(x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8+ \mathrm{constant}$