Integral de (3x-1)(5x+)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x\right)^{8} \left(3 x - 1\right) = 1171875 x^{9} - 390625 x^{8}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1171875 x^{9}\, dx = 1171875 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{234375 x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 390625 x^{8}\right)\, dx = - 390625 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{390625 x^{9}}{9}$

      El resultado es: $\frac{234375 x^{10}}{2} - \frac{390625 x^{9}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x\right)^{8} \left(3 x - 1\right) = - 390625 x^{8} + 3 x 390625 x^{8}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 390625 x^{8}\right)\, dx = - 390625 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{390625 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x 390625 x^{8}\, dx = 3 \int 390625 x x^{8}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 390625 x x^{8}\, dx = 390625 \int x x^{8}\, dx$

            1. que $u = x^{2}$.

               Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{u^{4}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{78125 x^{10}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{234375 x^{10}}{2}$

      El resultado es: $\frac{234375 x^{10}}{2} - \frac{390625 x^{9}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{78125 x^{9} \left(27 x - 10\right)}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{78125 x^{9} \left(27 x - 10\right)}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{78125 x^{9} \left(27 x - 10\right)}{18}+ \mathrm{constant}$