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Resolución de integrales/ ln(x)/ (2-x)/ (2-x)*(ln(x)/ln3)

Integral de (2-x)*(ln(x)/ln3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |          log(x)   
 |  (2 - x)*------ dx
 |          log(3)   
 |                   
/                    
0
∫01log⁡(x)log⁡(3)(2−x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \left(2 - x\right)\, dx 
Integral((2 - x)*(log(x)/log(3)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −dulog⁡(3)- \frac{du}{\log{\left(3 \right)}}:

      ∫(−ulog⁡(−u)+2log⁡(−u)log⁡(3)) du\int \left(- \frac{u \log{\left(- u \right)} + 2 \log{\left(- u \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(ulog⁡(−u)+2log⁡(−u)) du=−∫(ulog⁡(−u)+2log⁡(−u)) dulog⁡(3)\int \left(u \log{\left(- u \right)} + 2 \log{\left(- u \right)}\right)\, du = - \frac{\int \left(u \log{\left(- u \right)} + 2 \log{\left(- u \right)}\right)\, du}{\log{\left(3 \right)}}

        1. Integramos término a término:

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

            ∫ulog⁡(u) du\int u \log{\left(u \right)}\, du

            1. que u=log⁡(u)u = \log{\left(u \right)}.

              Luego que du=duudu = \frac{du}{u} y ponemos dudu:

              ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    False\text{False}

                    1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                      ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    False\text{False}

                    1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                      ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              u2log⁡(u)2−u24\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            u2log⁡(−u)2−u24\frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2log⁡(−u) du=2∫log⁡(−u) du\int 2 \log{\left(- u \right)}\, du = 2 \int \log{\left(- u \right)}\, du

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=−uu = - u.

                Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

                ∫(−log⁡(u)) du\int \left(- \log{\left(u \right)}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫log⁡(u) du=−∫log⁡(u) du\int \log{\left(u \right)}\, du = - \int \log{\left(u \right)}\, du

                  1. Usamos la integración por partes:

                    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                    que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

                    Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

                    Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                      ∫1 du=u\int 1\, du = u

                    Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫1 du=u\int 1\, du = u

                  Por lo tanto, el resultado es: −ulog⁡(u)+u- u \log{\left(u \right)} + u

                Si ahora sustituir uu más en:

                ulog⁡(−u)−uu \log{\left(- u \right)} - u

              Método #2

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=log⁡(−u)u{\left(u \right)} = \log{\left(- u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

                Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

            Por lo tanto, el resultado es: 2ulog⁡(−u)−2u2 u \log{\left(- u \right)} - 2 u

          El resultado es: u2log⁡(−u)2−u24+2ulog⁡(−u)−2u\frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4} + 2 u \log{\left(- u \right)} - 2 u

        Por lo tanto, el resultado es: −u2log⁡(−u)2−u24+2ulog⁡(−u)−2ulog⁡(3)- \frac{\frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4} + 2 u \log{\left(- u \right)} - 2 u}{\log{\left(3 \right)}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −x2log⁡(x)2−x24−2xlog⁡(x)+2xlog⁡(3)- \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x}{\log{\left(3 \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)log⁡(3)(2−x)=−xlog⁡(x)−2log⁡(x)log⁡(3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \left(2 - x\right) = - \frac{x \log{\left(x \right)} - 2 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−xlog⁡(x)−2log⁡(x)log⁡(3)) dx=−∫(xlog⁡(x)−2log⁡(x)) dxlog⁡(3)\int \left(- \frac{x \log{\left(x \right)} - 2 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)\, dx = - \frac{\int \left(x \log{\left(x \right)} - 2 \log{\left(x \right)}\right)\, dx}{\log{\left(3 \right)}}

      1. Integramos término a término:

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2log⁡(x)) dx=−2∫log⁡(x) dx\int \left(- 2 \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \log{\left(x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

            Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Por lo tanto, el resultado es: −2xlog⁡(x)+2x- 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

        El resultado es: x2log⁡(x)2−x24−2xlog⁡(x)+2x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

      Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)2−x24−2xlog⁡(x)+2xlog⁡(3)- \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x}{\log{\left(3 \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(x)log⁡(3)(2−x)=−xlog⁡(x)log⁡(3)+2log⁡(x)log⁡(3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \left(2 - x\right) = - \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xlog⁡(x)log⁡(3)) dx=−∫xlog⁡(x) dxlog⁡(3)\int \left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)\, dx = - \frac{\int x \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(3 \right)}}

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)2−x24log⁡(3)- \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(3 \right)}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2log⁡(x)log⁡(3) dx=2∫log⁡(x) dxlog⁡(3)\int \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\, dx = \frac{2 \int \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(3 \right)}}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 2(xlog⁡(x)−x)log⁡(3)\frac{2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)}{\log{\left(3 \right)}}

      El resultado es: 2(xlog⁡(x)−x)log⁡(3)−x2log⁡(x)2−x24log⁡(3)\frac{2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)}{\log{\left(3 \right)}} - \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}}{\log{\left(3 \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    x(−2xlog⁡(x)+x+8log⁡(x)−8)4log⁡(3)\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 8 \log{\left(x \right)} - 8\right)}{4 \log{\left(3 \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(−2xlog⁡(x)+x+8log⁡(x)−8)4log⁡(3)+constant\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 8 \log{\left(x \right)} - 8\right)}{4 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(−2xlog⁡(x)+x+8log⁡(x)−8)4log⁡(3)+constant\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 8 \log{\left(x \right)} - 8\right)}{4 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                  2    2                    
  /                              x    x *log(x)             
 |                         2*x - -- + --------- - 2*x*log(x)
 |         log(x)                4        2                 
 | (2 - x)*------ dx = C - ---------------------------------
 |         log(3)                        log(3)             
 |                                                          
/
∫log⁡(x)log⁡(3)(2−x) dx=C−x2log⁡(x)2−x24−2xlog⁡(x)+2xlog⁡(3)\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \left(2 - x\right)\, dx = C - \frac{\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x}{\log{\left(3 \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  -7    
--------
4*log(3)
−74log⁡(3)- \frac{7}{4 \log{\left(3 \right)}} 
=
= 
  -7    
--------
4*log(3)
−74log⁡(3)- \frac{7}{4 \log{\left(3 \right)}} 
-7/(4*log(3))
Respuesta numérica [src] 
-1.59291864659697
-1.59291864659697

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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